Número de Rayleigh

Magnitud adimensional asociada a la convección libre de un fluido

En mecánica de fluidos , el número de Rayleigh ( Ra , en honor a Lord Rayleigh ^[1] ) para un fluido es un número adimensional asociado con el flujo impulsado por flotabilidad , también conocido como convección libre (o natural) . ^{[2] [3] [4]} Caracteriza el régimen de flujo del fluido: ^[5] un valor en un cierto rango inferior denota flujo laminar ; un valor en un rango superior, flujo turbulento . Por debajo de un cierto valor crítico, no hay movimiento del fluido y la transferencia de calor es por conducción en lugar de convección. Para la mayoría de los propósitos de ingeniería, el número de Rayleigh es grande, alrededor de 10 ⁶ a 10 ⁸ .

El número de Rayleigh se define como el producto del número de Grashof ( Gr ), que describe la relación entre la flotabilidad y la viscosidad dentro de un fluido, y el número de Prandtl ( Pr ), que describe la relación entre la difusividad del momento y la difusividad térmica : Ra = Gr × Pr . ^{[4] [3]} Por lo tanto, también puede verse como la relación de las fuerzas de flotabilidad y viscosidad multiplicada por la relación de las difusividades térmica y del momento: Ra = B/ μ × ν / α . Está estrechamente relacionado con el número de Nusselt ( Nu ). ^[5]

Derivación

El número de Rayleigh describe el comportamiento de los fluidos (como el agua o el aire) cuando la densidad de masa del fluido no es uniforme. Las diferencias de densidad de masa suelen deberse a diferencias de temperatura. Normalmente, un fluido se expande y se vuelve menos denso a medida que se calienta. La gravedad hace que las partes más densas del fluido se hundan, lo que se denomina convección . Lord Rayleigh estudió ^[2] el caso de la convección de Rayleigh-Bénard . ^[6] Cuando el número de Rayleigh, Ra, está por debajo de un valor crítico para un fluido, no hay flujo y la transferencia de calor se produce puramente por conducción ; cuando supera ese valor, el calor se transfiere por convección natural. ^[3]

Cuando la diferencia de densidad de masa es causada por la diferencia de temperatura, Ra es, por definición, la relación entre la escala de tiempo para el transporte térmico difusivo y la escala de tiempo para el transporte térmico convectivo a velocidad : ^[4] ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\text{time scale for thermal transport via diffusion}}{{\text{time scale for thermal transport via convection at speed}}~u}}.}$$

Esto significa que el número de Rayleigh es un tipo ^[4] del número de Péclet . Para un volumen de fluido de tamaño en las tres dimensiones ^{[ aclaración necesaria ]} y diferencia de densidad de masa , la fuerza debida a la gravedad es del orden de , donde es la aceleración debida a la gravedad. De la ecuación de Stokes , cuando el volumen de fluido se hunde, la resistencia viscosa es del orden de , donde es la viscosidad dinámica del fluido. Cuando se igualan estas dos fuerzas, la velocidad . Por lo tanto, la escala de tiempo para el transporte por flujo es . La escala de tiempo para la difusión térmica a través de una distancia es , donde es la difusividad térmica . Por lo tanto, el número de Rayleigh Ra es ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \Delta \rho }$ ${\displaystyle \Delta \rho l^{3}g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \eta lu}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta }$ ${\displaystyle l/u\sim \eta /\Delta \rho lg}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {l^{2}/\alpha }{\eta /\Delta \rho lg}}={\frac {\Delta \rho l^{3}g}{\eta \alpha }}={\frac {\rho \beta \Delta Tl^{3}g}{\eta \alpha }}}$$

donde aproximamos la diferencia de densidad para un fluido de densidad de masa promedio , coeficiente de expansión térmica y una diferencia de temperatura a través de la distancia . ${\displaystyle \Delta \rho =\rho \beta \Delta T}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Delta T}$ ${\displaystyle l}$

El número de Rayleigh se puede escribir como el producto del número de Grashof y el número de Prandtl : ^{[4] [3]} $${\displaystyle \mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} .}$$

Definición clásica

Para la convección libre cerca de una pared vertical, el número de Rayleigh se define como:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{s}-T_{\infty })x^{3}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} }$$

dónde:

• x es la longitud característica
• Ra _x es el número de Rayleigh para la longitud característica x
• g es la aceleración debida a la gravedad
• β es el coeficiente de expansión térmica (igual a 1/ T , para gases ideales, donde T es la temperatura absoluta).
• ${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática
• α es la difusividad térmica
• T _s es la temperatura de la superficie
• T _∞ es la temperatura de reposo (temperatura del fluido lejos de la superficie del objeto)
• Gr _x es el número de Grashof para la longitud característica x
• Pr es el número de Prandtl

En lo anterior, se evalúan las propiedades del fluido Pr, ν , α y β a la temperatura de la película , que se define como:

$${\displaystyle T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}.}$$

Para un flujo de calentamiento de pared uniforme, el número de Rayleigh modificado se define como:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}^{*}={\frac {g\beta q''_{o}}{\nu \alpha k}}x^{4}}$$

dónde:

• q″ _o es el flujo de calor superficial uniforme
• k es la conductividad térmica. ^[7]

Otras aplicaciones

Aleaciones solidificantes

El número de Rayleigh también se puede utilizar como criterio para predecir inestabilidades conveccionales, como segregaciones A , en la zona blanda de una aleación en proceso de solidificación. El número de Rayleigh de la zona blanda se define como:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}L}{\alpha \nu }}={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}}{R\nu }}}$$

dónde:

• K es la permeabilidad media (de la porción inicial de la papilla)
• L es la escala de longitud característica
• α es la difusividad térmica
• ν es la viscosidad cinemática
• R es la velocidad de solidificación o isoterma. ^[8]

Se prevé que se formen segregaciones A cuando el número de Rayleigh supera un determinado valor crítico. Este valor crítico es independiente de la composición de la aleación y esta es la principal ventaja del criterio del número de Rayleigh sobre otros criterios para la predicción de inestabilidades convectivas, como el criterio de Suzuki.

Torabi Rad et al. demostraron que para las aleaciones de acero el número crítico de Rayleigh es 17. ^[8] Pickering et al. exploraron el criterio de Torabi Rad y verificaron aún más su eficacia. También se desarrollaron números críticos de Rayleigh para superaleaciones a base de plomo-estaño y níquel. ^[9]

Medios porosos

El número de Rayleigh anterior es para la convección en un fluido a granel como el aire o el agua, pero la convección también puede ocurrir cuando el fluido está dentro y llena un medio poroso, como una roca porosa saturada de agua. ^[10] Entonces el número de Rayleigh, a veces llamado número de Rayleigh-Darcy , es diferente. En un fluido a granel, es decir, no en un medio poroso, de la ecuación de Stokes , la velocidad de caída de un dominio de tamaño de líquido . En medio poroso, esta expresión se reemplaza por la de la ley de Darcy , con la permeabilidad del medio poroso. El número de Rayleigh o Rayleigh-Darcy es entonces ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta }$ ${\displaystyle u\sim \Delta \rho kg/\eta }$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\rho \beta \Delta Tklg}{\eta \alpha }}}$$

Esto también se aplica a los segregados A , en la zona blanda de una aleación en solidificación. ^[8]

Aplicaciones geofísicas

En geofísica , el número de Rayleigh es de importancia fundamental: indica la presencia y la fuerza de la convección dentro de un cuerpo fluido como el manto terrestre . El manto es un sólido que se comporta como un fluido en escalas de tiempo geológicas. El número de Rayleigh para el manto terrestre debido únicamente al calentamiento interno, Ra _H , viene dado por:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{H}={\frac {g\rho _{0}^{2}\beta HD^{5}}{\eta \alpha k}}}$$

dónde:

• H es la tasa de producción de calor radiogénico por unidad de masa.
• η es la viscosidad dinámica
• k es la conductividad térmica
• D es la profundidad del manto . ^[11]

Un número de Rayleigh para el calentamiento del fondo del manto desde el núcleo, Ra _T , también se puede definir como:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{T}={\frac {\rho _{0}^{2}g\beta \Delta T_{\text{sa}}D^{3}C_{P}}{\eta k}}}$$

dónde:

• Δ T _sa es la diferencia de temperatura superadiabática (la diferencia de temperatura superadiabática es la diferencia de temperatura real menos la diferencia de temperatura en un fluido cuyo gradiente de entropía es cero, pero tiene el mismo perfil de las otras variables que aparecen en la ecuación de estado ) entre la temperatura del manto de referencia y el límite núcleo-manto.
• C _P es la capacidad calorífica específica a presión constante. ^[11]

Los valores altos del manto de la Tierra indican que la convección dentro de la Tierra es vigorosa y varía con el tiempo, y que la convección es responsable de casi todo el calor transportado desde el interior profundo a la superficie.

Véase también

• Número de Grashof
• Número de Prandtl
• Número de Reynolds
• Número de Péclet
• Número de Nusselt
• Convección Rayleigh-Bénard

Notas

1. Chandrasekhar, S. (1961). Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética . Londres: Oxford University Press. pág. 10. ISBN. 978-0-19-851237-0.
2. Baron Rayleigh (1916). "Sobre corrientes de convección en una capa horizontal de fluido, cuando la temperatura más alta está en el lado inferior". Londres, Edimburgo, Dublín, Phil. Mag. J. Sci . 32 (192): 529–546. doi :10.1080/14786441608635602.
3. Çengel, Yunus; Turner, Robert; Cimbala, John (2017). Fundamentos de las ciencias de los fluidos térmicos (Quinta ed.). Nueva York, Nueva York. ISBN 9780078027680.OCLC 929985323  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Squires, Todd M.; Quake, Stephen R. (6 de octubre de 2005). "Microfluídica: Física de fluidos a escala nanométrica" ​​(PDF) . Reseñas de Física Moderna . 77 (3): 977–1026. Bibcode :2005RvMP...77..977S. doi :10.1103/RevModPhys.77.977.
5. Çengel, Yunus A. (2002). Transferencia de calor y masa (segunda edición). McGraw-Hill. pág. 466.
6. Ahlers, Guenter; Grossmann, Siegfried; Lohse, Detlef (22 de abril de 2009). "Transferencia de calor y dinámica a gran escala en convección turbulenta de Rayleigh-Bénard". Reseñas de Física Moderna . 81 (2): 503–537. arXiv : 0811.0471 . Código Bibliográfico :2009RvMP...81..503A. doi :10.1103/RevModPhys.81.503. S2CID  7566961.
7. M. Favre-Marinet y S. Tardu, Transferencia de calor por convección, ISTE, Ltd, Londres, 2009
8. Torabi Rad, M.; Kotas, P.; Beckermann, C. (2013). "Criterio de número de Rayleigh para la formación de segregantes A en piezas fundidas y lingotes de acero". Metall. Mater. Trans. A . 44A (9): 4266–4281. Bibcode :2013MMTA...44.4266R. doi :10.1007/s11661-013-1761-4. S2CID  137652216.
9. Pickering, EJ; Al-Bermani, S.; Talamantes-Silva, J. (2014). "Aplicación del criterio de segregación A en lingotes de acero". Ciencia y tecnología de materiales . 31 (11): 1313. Bibcode :2015MatST..31.1313P. doi :10.1179/1743284714Y.0000000692. S2CID  137549220.
10. Lister, John R.; Neufeld, Jerome A.; Hewitt, Duncan R. (2014). "Convección de alto número de Rayleigh en un medio poroso tridimensional". Journal of Fluid Mechanics . 748 : 879–895. arXiv : 0811.0471 . Bibcode :2014JFM...748..879H. doi :10.1017/jfm.2014.216. ISSN  1469-7645. S2CID  43758157.
11. Bunge, Hans-Peter; Richards, Mark A.; Baumgardner, John R. (1997). "Un estudio de sensibilidad de la convección del manto esférico tridimensional a un número de Rayleigh de 108: efectos de la viscosidad dependiente de la profundidad, el modo de calentamiento y el cambio de fase endotérmico". Revista de investigación geofísica . 102 (B6): 11991–12007. Código Bibliográfico :1997JGR...10211991B. doi : 10.1029/96JB03806 .

Referencias

• Turcotte, D.; Schubert, G. (2002). Geodinámica (2.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66186-7.

Enlaces externos

• Calculadora de números de Rayleigh