Número de Friedman

Un número de Friedman es un número entero que, representado en un sistema de numeración dado , es el resultado de una expresión no trivial que utiliza todos sus propios dígitos en combinación con cualquiera de los cuatro operadores aritméticos básicos (+, −, ×, ÷), inversos aditivos , paréntesis, exponenciación y concatenación . Aquí, no trivial significa que se utiliza al menos una operación además de la concatenación. No se pueden utilizar ceros a la izquierda, ya que eso también daría como resultado números de Friedman triviales, como 024 = 20 + 4. Por ejemplo, 347 es un número de Friedman en el sistema de numeración decimal , ya que 347 = 7 ³ + 4. Los números de Friedman decimales son:

25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, ... (secuencia A036057 en la OEIS ).

Los números de Friedman reciben su nombre en honor a Erich Friedman, profesor de matemáticas actualmente retirado de la Universidad Stetson y entusiasta de las matemáticas recreativas.

Un número primo de Friedman es un número de Friedman que también es primo . Los números primos decimales de Friedman son:

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 8547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, ... (secuencia A112419 en la OEIS ).

Resultados en base 10

Las expresiones de los primeros números de Friedman son:

Un buen número de Friedman es aquel en el que los dígitos de la expresión se pueden ordenar de forma que estén en el mismo orden que en el número mismo. Por ejemplo, podemos ordenar 127 = 2 ⁷ − 1 como 127 = −1 + 2 ⁷ . Los primeros buenos números de Friedman son:

127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15585, 15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626, 15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688, 16377, 16384, 16447, 16875, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739 (secuencia A080035 en la OEIS ).

Un primo de Friedman bonito es un número de Friedman bonito que también es primo. Los primeros primos de Friedman bonitos son:

127, 15667, 16447, 19739, 28559, 32771, 39343, 46633, 46663, 117619, 117643, 117763, 125003, 131071, 137791, 147419, 3, 156257, 156259, 229373, 248839, 262139, 262147, 279967, 294829, 295247, 326617, 466553, 466561, 466567, 585643, 592763, 649529, 728993, 759359, 786433, 937577 (secuencia A252483 en la OEIS ).

Michael Brand demostró que la densidad de los números de Friedman entre los naturales es 1, ^[1] lo que quiere decir que la probabilidad de que un número elegido aleatoriamente y de manera uniforme entre 1 y n sea un número de Friedman tiende a 1 cuando n tiende a infinito. Este resultado se extiende a los números de Friedman bajo cualquier base de representación. También demostró que lo mismo es cierto para los números de Friedman binarios, ternarios y cuaternarios. ^[2] El caso de los números de Friedman de base 10 sigue abierto.

Los números vampiro son un subconjunto de los números de Friedman donde la única operación es la multiplicación de dos números con el mismo número de dígitos, por ejemplo 1260 = 21 × 60.

Cómo encontrar números de Friedman de 2 dígitos

Por lo general, hay menos números de Friedman de 2 dígitos que de 3 dígitos y más en cualquier base dada, pero los de 2 dígitos son más fáciles de encontrar. Si representamos un número de 2 dígitos como mb + n , donde b es la base y m , n son números enteros de 0 a b −1, solo necesitamos comprobar cada combinación posible de m y n contra las igualdades mb + n = m ⁿ y mb + n = n ^m para ver cuáles son verdaderas. No necesitamos preocuparnos por m + n o m × n , ya que estos siempre serán menores que mb + n cuando n < b . Lo mismo se aplica claramente para m − n y m / n .

Otras bases

También existen números de Friedman para bases distintas de la base 10. Por ejemplo, 11001 ₂ = 25 es un número de Friedman en el sistema de numeración binario , ya que 11001 = 101 ¹⁰ .

A continuación se muestran los primeros números de Friedman conocidos en otras bases pequeñas, escritos en sus respectivas bases. Los números que se muestran en negrita son números de Friedman bonitos. ^[3]

Resultados generales

En la base , ${\displaystyle b=mk-m}$

${\displaystyle b^{2}+mb+k=(mk-m+m)b+k=mbk+k=k(mb+1)}$

es un número de Friedman (escrito en base como 1 mk = k × m 1). ^[4] ${\displaystyle b}$

En la base , ${\displaystyle b>2}$

${\displaystyle {(b^{n}+1)}^{2}=b^{2n}+2{b^{n}}+1}$

es un número de Friedman (escrito en base como 100...00200...001 = 100..001 ² , con ceros entre cada número distinto de cero). ^[4] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n-1}$

En la base , ${\displaystyle b={\frac {k(k-1)}{2}}}$

${\displaystyle 2b+k=2\left({\frac {k(k-1)}{2}}\right)+k=k^{2}-k+k=k^{2}}$

es un número de Friedman (escrito en base 2 k = k ² ). A partir de la observación de que todos los números de la forma 2 k × b ^{2 n} se pueden escribir como k 000...000 ² con n 0, podemos encontrar secuencias de números de Friedman consecutivos que son arbitrariamente largos. Por ejemplo, para , o en base 10 , 250068 = 500 ² + 68, de lo que podemos deducir fácilmente el rango de números de Friedman consecutivos de 250000 a 250099 en base 10 . ^[4] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k=5}$

Números de Friedman de Repdigit :

• El repdigit más pequeño en base 8 que es un número de Friedman es 33 = 3 ³ .
• El repdigit más pequeño en base 10 que se considera un número de Friedman es 99999999 = (9 + 9/9) ^9−9/9 − 9/9. ^[4]
• Se ha demostrado que los repdigits con al menos 22 dígitos son buenos números de Friedman. ^[4]

Hay un número infinito de números primos de Friedman en todas las bases, porque para la base los números ${\displaystyle 2\leq b\leq 6}$

${\displaystyle n\times 10^{1111}[phone]=n\times 10^{1111}+10^{1000}-1+0+0}$en base 2

${\displaystyle n\times 10^{102}+1101221=n\times 10^{102}+2^{101}+0+0}$en base 3

${\displaystyle n\times 10^{20}+310233=n\times 10^{20}+33^{3}+0}$en base 4

${\displaystyle n\times 10^{13}+2443111=n\times 10^{4+4}+(2\times 3)^{11}}$en base 5

${\displaystyle n\times 10^{13}[phone]=n\times 10^{2\times 5-1}+(5+2)^{(3+4)}}$en base 6

para basar los números ${\displaystyle 7\leq b\leq 10}$

${\displaystyle n\times 10^{60}+164351=n\times 10^{60}+(10+4-3)^{5}+0+0+\ldots }$en base 7,

${\displaystyle n\times 10^{60}+163251=n\times 10^{60}+(10+3-2)^{5}+0+0+\ldots }$en base 8,

${\displaystyle n\times 10^{60}+162151=n\times 10^{60}+(10+2-1)^{5}+0+0+\ldots }$en base 9,

${\displaystyle n\times 10^{60}+161051=n\times 10^{60}+(10+1-0)^{5}+0+0+\ldots }$en base 10,

y para la base ${\displaystyle b>10}$

${\displaystyle n\times 10^{50}+{\text{15AA51}}=n\times 10^{50}+(10+{\text{A}}/{\text{A}})^{5}+0+0+\ldots }$

son números de Friedman para todos los . Los números de esta forma son una secuencia aritmética , donde y son primos entre sí independientemente de la base, ya que y son siempre primos entre sí y, por lo tanto, por el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , la secuencia contiene un número infinito de primos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle pn+q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b+1}$

Usando números romanos

En un sentido trivial, todos los números romanos con más de un símbolo son números de Friedman. La expresión se crea simplemente insertando signos + en el número y, ocasionalmente, el signo − con un ligero reordenamiento del orden de los símbolos.

Se han realizado algunas investigaciones sobre los números de Friedman en números romanos cuya expresión utiliza algunos de los otros operadores. El primer número de Friedman en números romanos descubierto fue el 8, ya que VIII = (V - I) × II. Se han encontrado otros ejemplos no triviales similares.

La dificultad de encontrar números de Friedman no triviales en números romanos aumenta no con el tamaño del número (como es el caso de los sistemas de numeración de notación posicional ), sino con la cantidad de símbolos que tiene. Por ejemplo, es mucho más difícil determinar si 147 (CXLVII) es un número de Friedman en números romanos que hacer la misma determinación para 1001 (MI). Con los números romanos, uno puede al menos derivar bastantes expresiones de Friedman a partir de cualquier expresión nueva que uno descubra. Dado que 8 es un bonito número de Friedman en números romanos no trivial, se deduce que cualquier número que termine en VIII también es un número de Friedman.

Referencias

1. Michael Brand, "Los números de Friedman tienen densidad 1", Discrete Applied Mathematics , 161 (16–17), noviembre de 2013, págs. 2389-2395.
2. Michael Brand, "Sobre la densidad de los buenos Friedman", octubre de 2013, https://arxiv.org/abs/1310.2390.
3. Friedman, Erich. "Números de Friedman en otras bases".
4. "Magia matemática".

Enlaces externos

• Secuencia OEIS A036057 (número de Friedman)
  • Otros números de Friedman en La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
• "Números de Friedman". Github . Problema del mes. Agosto de 2000.
• Brand, Michael (noviembre de 2013). "Los números de Friedman tienen densidad 1". Matemáticas Aplicadas Discretas . 161 (16–17): 2389–2395. doi : 10.1016/j.dam.2013.05.027 .
• Secuencia OEIS A119710 (Números narcisistas radicales)
  • "Números narcisistas bastante salvajes: números que dominan". Instituto de Investigación Teórica . Extensión a los números de Friedman