matriz de hankel

Una matriz cuadrada en la que cada diagonal sesgada ascendente de izquierda a derecha es constante

En álgebra lineal , una matriz de Hankel (o matriz catalecticante ), llamada así en honor a Hermann Hankel , es una matriz cuadrada en la que cada diagonal sesgada ascendente de izquierda a derecha es constante. Por ejemplo,

$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$

De manera más general, una matriz de Hankel es cualquier matriz de la forma ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$

En términos de los componentes, si el elemento de se denota con y suponiendo , entonces tenemos para todos ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,j-k}}$ ${\displaystyle k=0,...,j-i.}$

Propiedades

• Cualquier matriz de Hankel es simétrica .
• Sea la matriz de intercambio . Si es una matriz de Hankel, entonces ¿dónde está una matriz de Toeplitz ? ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle H=TJ_{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m\times n}$
  • Si es realmente simétrico, entonces tendrá los mismos valores propios que hasta el signo. ^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H=TJ_{n}}$ ${\displaystyle T}$
• La matriz de Hilbert es un ejemplo de matriz de Hankel.
• El determinante de una matriz de Hankel se llama catalecticante .

Operador Hankel

Dada una serie formal de Laurent

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n}}$$

el operador Hankel^[2]

$${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]],}$$

polinomioserie formal de potencias ${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots \\a_{2}&a_{3}&\ldots \\a_{3}&a_{4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$

Cualquier matriz de Hankel surge de esta forma. Un teorema de Kronecker dice que el rango de esta matriz es finito precisamente si es una función racional ; es decir, una fracción de dos polinomios ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

Aproximaciones

A menudo nos interesan las aproximaciones de los operadores de Hankel, posiblemente realizadas por operadores de orden inferior. Para aproximar la salida del operador, podemos usar la norma espectral (operador 2-norma) para medir el error de nuestra aproximación. Esto sugiere la descomposición de valores singulares como una posible técnica para aproximar la acción del operador.

Tenga en cuenta que la matriz no tiene por qué ser finita. Si es infinito, los métodos tradicionales para calcular vectores singulares individuales no funcionarán directamente. También requerimos que la aproximación sea una matriz de Hankel, que puede demostrarse con la teoría AAK. ${\displaystyle A}$

Transformada de matriz de Hankel

La transformada de matriz de Hankel , o simplemente transformada de Hankel , de una secuencia es la secuencia de los determinantes de las matrices de Hankel formadas a partir de . Dado un número entero , defina la matriz de Hankel dimensional correspondiente con los elementos de la matriz. Entonces, la secuencia dada por ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle [B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.}$ ${\displaystyle h_{n}}$

$${\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}$$

es la transformada de Hankel de la secuencia La transformada de Hankel es invariante bajo la transformada binomial de una secuencia. Es decir, si uno escribe ${\displaystyle b_{k}.}$

$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$$

${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}$

Aplicaciones de las matrices de Hankel

Las matrices de Hankel se forman cuando, dada una secuencia de datos de salida, se desea la realización de un espacio de estados subyacente o un modelo de Markov oculto . ^[3] La descomposición en valores singulares de la matriz de Hankel proporciona un medio para calcular las matrices A , B y C que definen la realización del espacio de estados. ^[4] Se ha descubierto que la matriz de Hankel formada a partir de la señal es útil para la descomposición de señales no estacionarias y la representación tiempo-frecuencia.

Método de momentos para distribuciones polinomiales.

El método de momentos aplicado a distribuciones polinómicas da como resultado una matriz de Hankel que debe invertirse para obtener los parámetros de peso de la aproximación de la distribución polinómica. ^[5]

Matrices positivas de Hankel y problemas del momento de Hamburgo

Ver también

• matriz de cauchy
• operador jacobi
• Matriz de Toeplitz , una matriz de Hankel "al revés" (es decir, con filas invertidas)
• matriz de vandermonde

Notas

1. Yasuda, M. (2003). "Una caracterización espectral de matrices K centrosimétricas hermitianas y centrosimétricas sesgadas hermitianas". SIAM J. Matriz anal. Aplica . 25 (3): 601–605. doi :10.1137/S0895479802418835.
2. Fuhrmann 2012, §8.3
3. Aoki, Masanao (1983). "Predicción de series temporales". Notas sobre el análisis de series de tiempo económicas: perspectivas teóricas de sistemas . Nueva York: Springer. págs. 38–47. ISBN 0-387-12696-1.
4. Aoki, Masanao (1983). "Determinación de rango de matrices de Hankel". Notas sobre el análisis de series de tiempo económicas: perspectivas teóricas de sistemas . Nueva York: Springer. págs. 67–68. ISBN 0-387-12696-1.
5. J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) "Estimación de distribución de probabilidad polinomial mediante el método de momentos". MÁS UNO 12(4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573

Referencias

• Brent RP (1999), "Estabilidad de algoritmos rápidos para sistemas lineales estructurados", Algoritmos rápidos y confiables para matrices con estructura (editores: T. Kailath, AH Sayed), capítulo 4 ( SIAM ).
• Fuhrmann, Paul A. (2012). Un enfoque polinómico del álgebra lineal . Universitext (2 ed.). Nueva York, Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-1-4614-0338-8. ISBN 978-1-4614-0337-1. Zbl  1239.15001.

• Víctor Y. Pan (2001). Matrices estructuradas y polinomios: algoritmos superrápidos unificados . Birkhäuser . ISBN 0817642404.
• J.R. Partington (1988). Una introducción a los operadores de Hankel . Textos para estudiantes de LMS. vol. 13. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-36791-3.