n conjetura

Generalización de la conjetura abc a más de tres números enteros

En teoría de números, la conjetura n es una conjetura planteada por Browkin y Brzeziński (1994) como una generalización de la conjetura abc a más de tres números enteros.

Formulaciones

Dado , cumplamos tres condiciones: ${\displaystyle {n\geq 3}}$ ${\displaystyle {a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {Z} }}$

(i) ${\displaystyle \gcd(a_{1},a_{2},...,a_{n})=1}$

(ii) ${\displaystyle {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=0}}$

(iii) no hay una subsuma adecuada de iguales ${\displaystyle {a_{1},a_{2},...,a_{n}}}$ ${\displaystyle {0}}$

Primera formulación

La n conjetura establece que para cada , existe una constante , dependiendo de y , tal que: ${\displaystyle {\varepsilon >0}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {n}}$ ${\displaystyle {\varepsilon }}$

${\displaystyle \operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|)<C_{n,\varepsilon }\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot ...\cdot |a_{n}|)^{2n-5+\varepsilon }}$

donde denota el radical del número entero , definido como el producto de los distintos factores primos de . ${\displaystyle \operatorname {rad} (m)}$ ${\displaystyle {m}}$ ${\displaystyle {m}}$

Segunda formulación

Definir la calidad de como ${\displaystyle {a_{1},a_{2},...,a_{n}}}$

${\displaystyle q(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\frac {\log(\operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|))}{\log(\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot ...\cdot |a_{n}|))}}}$

La conjetura n establece que . ${\displaystyle \limsup q(a_{1},a_{2},...,a_{n})=2n-5}$

Forma más fuerte

Vojta (1998) propuso una variante más fuerte de la conjetura n , donde la coprimidad por conjuntos de se reemplaza por la coprimidad por pares de . ${\displaystyle {a_{1},a_{2},...,a_{n}}}$ ${\displaystyle {a_{1},a_{2},...,a_{n}}}$

Hay dos formulaciones diferentes de esta conjetura de n fuerte .

Dado , cumplamos tres condiciones: ${\displaystyle {n\geq 3}}$ ${\displaystyle {a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {Z} }}$

(i) son coprimos por pares ${\displaystyle {a_{1},a_{2},...,a_{n}}}$

(ii) ${\displaystyle {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=0}}$

(iii) no hay una subsuma adecuada de iguales ${\displaystyle {a_{1},a_{2},...,a_{n}}}$ ${\displaystyle {0}}$

Primera formulación

La conjetura de n fuerte establece que para cada , hay una constante , dependiendo de y , tal que: ${\displaystyle {\varepsilon >0}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {n}}$ ${\displaystyle {\varepsilon }}$

${\displaystyle \operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|)<C_{n,\varepsilon }\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot ...\cdot |a_{n}|)^{1+\varepsilon }}$

Segunda formulación

Definir la calidad de como ${\displaystyle {a_{1},a_{2},...,a_{n}}}$

${\displaystyle q(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\frac {\log(\operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|))}{\log(\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot ...\cdot |a_{n}|))}}}$

La conjetura de n fuerte establece que . ${\displaystyle \limsup q(a_{1},a_{2},...,a_{n})=1}$

Referencias

• Browkin, Jerzy ; Brzeziński, Juliusz (1994). "Algunas observaciones sobre la conjetura abc ". Matemáticas. comp . 62 (206): 931–939. Código Bib : 1994MaCom..62..931B. doi :10.2307/2153551. JSTOR  2153551.
• Vojta, Paul (1998). "Una conjetura abc más general ". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 1998 (21): 1103–1116. arXiv : matemáticas/9806171 . doi :10.1155/S1073792898000658. SEÑOR  1663215.{{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI (link)