Análisis multiresolución

Método de diseño de transformadas wavelet discretas

El análisis multiresolución ( MRA ) o aproximación multiescala ( MSA ) es el método de diseño de la mayoría de las transformadas wavelet discretas (DWT) de relevancia práctica y la justificación del algoritmo de la transformada wavelet rápida (FWT). Fue introducido en este contexto en 1988/89 por Stephane Mallat e Yves Meyer y tiene predecesores en el análisis microlocal en la teoría de ecuaciones diferenciales (el método de ironing ) y los métodos piramidales de procesamiento de imágenes introducidos en 1981/83 por Peter J. Burt, Edward H. Adelson y James L. Crowley.

Definición

Un análisis multirresolución del espacio de Lebesgue consiste en una secuencia de subespacios anidados ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \{0\}\dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$

que satisface ciertas relaciones de autosimilitud en tiempo-espacio y escala-frecuencia, así como relaciones de completitud y regularidad.

• La autosimilitud en el tiempo exige que cada subespacio V _k sea invariante ante desplazamientos de múltiplos enteros de 2 ^k . Es decir, para cada función g definida como también contenida en . ${\displaystyle f\in V_{k},\;m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g(x)=f(x-m2^{k})}$ ${\displaystyle V_{k}}$
• La autosimilitud en escala exige que todos los subespacios sean versiones escaladas en el tiempo unos de otros, con un factor de dilatación de escala respectivamente de 2 ^k-l . Es decir, para cada uno hay un con . ${\displaystyle V_{k}\subset V_{l},\;k>l,}$ ${\displaystyle f\in V_{k}}$ ${\displaystyle g\in V_{l}}$ ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\;g(x)=f(2^{k-l}x)}$
• En la secuencia de subespacios, para k > l la resolución espacial 2 ^l del l -ésimo subespacio es mayor que la resolución 2 ^k del k -ésimo subespacio.
• La regularidad exige que el subespacio modelo V ₀ se genere como la envoltura lineal ( algebraicamente o incluso topológicamente cerrada ) de los desplazamientos enteros de una o un número finito de funciones generadoras o . Esos desplazamientos enteros deberían formar al menos un marco para el subespacio , que impone ciertas condiciones sobre la descomposición en el infinito . Las funciones generadoras también se conocen como funciones de escala o wavelets padre . En la mayoría de los casos se exige que esas funciones sean continuas por partes con soporte compacto . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{r}}$ ${\displaystyle V_{0}\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$
• La completitud exige que esos subespacios anidados llenen todo el espacio, es decir, su unión debe ser densa en , y que no sean demasiado redundantes, es decir, su intersección solo debe contener el elemento cero . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

Conclusiones importantes

En el caso de una función de escala continua (o al menos con variación acotada) con soporte compacto y desplazamientos ortogonales, se pueden hacer varias deducciones. La prueba de la existencia de esta clase de funciones se debe a Ingrid Daubechies .

Suponiendo que la función de escala tiene soporte compacto, entonces implica que hay una secuencia finita de coeficientes para , y para , tales que ${\displaystyle V_{0}\subset V_{-1}}$ ${\displaystyle a_{k}=2\langle \phi (x),\phi (2x-k)\rangle }$ ${\displaystyle |k|\leq N}$ ${\displaystyle a_{k}=0}$ ${\displaystyle |k|>N}$

${\displaystyle \phi (x)=\sum _{k=-N}^{N}a_{k}\phi (2x-k).}$

Definiendo otra función, conocida como wavelet madre o simplemente wavelet

${\displaystyle \psi (x):=\sum _{k=-N}^{N}(-1)^{k}a_{1-k}\phi (2x-k),}$

se puede demostrar que el espacio , que se define como la envoltura lineal (cerrada) de los desplazamientos enteros de la wavelet madre, es el complemento ortogonal de dentro de . ^[1] O dicho de otra manera, es la suma ortogonal (denotada por ) de y . Por autosimilitud, hay versiones escaladas de y por completitud se tiene ${\displaystyle W_{0}\subset V_{-1}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{-1}}$ ${\displaystyle V_{-1}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle W_{0}}$

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )={\mbox{closure of }}\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }W_{k},}$

Así el conjunto

${\displaystyle \{\psi _{k,n}(x)={\sqrt {2}}^{-k}\psi (2^{-k}x-n):\;k,n\in \mathbb {Z} \}}$

es una base wavelet ortonormal completa contable en . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

Véase también

• Método multigrid
• Modelado multiescala
• Espacio de escala
• Análisis de tiempo y frecuencia
• Ondícula

Referencias

1. Mallat, SG "Un recorrido wavelet por el procesamiento de señales". www.di.ens.fr . Consultado el 30 de diciembre de 2019 .

• Chui, Charles K. (1992). Introducción a las wavelets . San Diego: Academic Press. ISBN 0-585-47090-1.
• Akansu, AN ; Haddad, RA (1992). Descomposición de señales multirresolución: transformadas, subbandas y wavelets . Academic Press. ISBN 978-0-12-047141-6.
• Crowley, JL, (1982). Representaciones para la información visual, Tesis doctoral, Universidad Carnegie-Mellon, 1982.
• Burrus, CS ; Gopinath, RA; Guo, H. (1997). Introducción a wavelets y transformadas wavelet: una introducción . Prentice-Hall. ISBN 0-13-489600-9.
• Mallat, SG (1999). Un recorrido wavelet por el procesamiento de señales. Academic Press. ISBN 0-12-466606-X.