El método de cuadrícula (también conocido como método de caja ) de multiplicación es un enfoque introductorio a los cálculos de multiplicación de varios dígitos que involucran números mayores que diez. Debido a que a menudo se enseña en la educación matemática a nivel de escuela primaria o escuela elemental , este algoritmo a veces se denomina método de escuela secundaria. [1]
En comparación con la multiplicación larga tradicional , el método de cuadrícula se diferencia en que divide claramente la multiplicación y la suma en dos pasos y en que depende menos del valor posicional.
Aunque es menos eficiente que el método tradicional, se considera que la multiplicación en cuadrícula es más fiable , ya que los niños tienen menos probabilidades de cometer errores. La mayoría de los alumnos aprenderán el método tradicional una vez que se sientan cómodos con el método en cuadrícula; pero el conocimiento del método en cuadrícula sigue siendo un "recurso" útil en caso de confusión. También se sostiene que, dado que cualquiera que haga muchas multiplicaciones hoy en día utilizaría una calculadora de bolsillo, la eficiencia en sí misma es menos importante; igualmente, dado que esto significa que la mayoría de los niños utilizarán el algoritmo de multiplicación con menos frecuencia, es útil que se familiaricen con un método más explícito (y, por lo tanto, más memorable).
El uso del método de cuadrícula ha sido estándar en la enseñanza de las matemáticas en las escuelas primarias de Inglaterra y Gales desde la introducción de una Estrategia Nacional de Aritmética con su "hora de aritmética" en la década de 1990. También se puede encontrar incluido en varios planes de estudio en otros lugares. Esencialmente el mismo enfoque de cálculo, pero sin la disposición explícita de cuadrícula, también se conoce como algoritmo de productos parciales o método de productos parciales .
El método de cuadrícula se puede introducir pensando en cómo sumar el número de puntos en una matriz regular, por ejemplo, el número de cuadrados de chocolate en una barra de chocolate. A medida que el tamaño del cálculo se hace más grande, se hace más fácil comenzar a contar de diez en diez y representar el cálculo como un cuadro que se puede subdividir, en lugar de dibujar una multitud de puntos. [2] [3]
En el nivel más simple, se les puede pedir a los alumnos que apliquen el método a un cálculo como 3 × 17. Al dividir el 17 en (10 + 7), esta multiplicación desconocida se puede calcular como la suma de dos multiplicaciones simples:
entonces 3 × 17 = 30 + 21 = 51.
Esta es la estructura de "cuadrícula" o "cajas" que da al método de multiplicación su nombre.
Ante una multiplicación un poco mayor, como 34 × 13, se puede animar inicialmente a los alumnos a que también la descompongan en decenas. Así, desarrollando 34 como 10 + 10 + 10 + 4 y 13 como 10 + 3, el producto 34 × 13 podría representarse:
Sumando el contenido de cada fila, se ve que el resultado final del cálculo es (100 + 100 + 100 + 40) + (30 + 30 + 30 + 12) = 340 + 102 = 442.
Una vez que los alumnos se sienten cómodos con la idea de dividir todo el producto en contribuciones de cajas separadas, es un paso natural agrupar las decenas, de modo que el cálculo 34 × 13 se convierta en
dando la adición
Entonces 34 × 13 = 442.
Esta es la forma más habitual de realizar un cálculo en cuadrícula. En países como el Reino Unido, donde es habitual enseñar el método de cuadrícula, los alumnos pueden pasar un período considerable de tiempo realizando cálculos como el anterior hasta que el método les resulte totalmente cómodo y familiar.
El método de cuadrícula se extiende directamente a los cálculos que involucran números mayores.
Por ejemplo, para calcular 345 × 28, el estudiante podría construir la cuadrícula con seis multiplicaciones sencillas.
Para encontrar la respuesta 6900 + 2760 = 9660.
Sin embargo, en esta etapa (al menos en la práctica docente estándar actual en el Reino Unido) los alumnos pueden comenzar a sentirse alentados a realizar dicho cálculo utilizando la forma tradicional de multiplicación larga sin tener que dibujar una cuadrícula.
La multiplicación larga tradicional se puede relacionar con una multiplicación en cuadrícula en la que solo uno de los números se descompone en decenas y unidades para ser multiplicadas por separado:
El método tradicional es, en definitiva, más rápido y mucho más compacto, pero requiere dos multiplicaciones significativamente más difíciles con las que los alumnos pueden tener dificultades al principio [ cita requerida ] . En comparación con el método de cuadrícula, la multiplicación larga tradicional también puede ser más abstracta [ cita requerida ] y menos manifiestamente clara [ cita requerida ] , por lo que a algunos alumnos les resulta más difícil recordar qué se debe hacer en cada etapa y por qué [ cita requerida ] . Por lo tanto, se puede alentar a los alumnos durante un período considerable a utilizar el método de cuadrícula más simple junto con el método de multiplicación larga tradicional más eficiente, como control y como alternativa.
Si bien normalmente no se enseña como un método estándar para multiplicar fracciones , el método de cuadrícula se puede aplicar fácilmente a casos simples donde es más fácil encontrar un producto al descomponerlo.
Por ejemplo, el cálculo 2 1/2× 11/2 se puede establecer utilizando el método de cuadrícula
para encontrar que el producto resultante es 2 + 1/2+ 1 +1/4 = 3 3/4
El método de cuadrícula también se puede utilizar para ilustrar la multiplicación de un producto de binomios , como ( a + 3)( b + 2), un tema estándar en álgebra elemental (aunque no se suele estudiar hasta la escuela secundaria ):
Por lo tanto ( a + 3 )( b + 2) = ab + 3 b + 2 a + 6.
Las CPU de 32 bits normalmente carecen de una instrucción para multiplicar dos enteros de 64 bits. Sin embargo, la mayoría de las CPU admiten una instrucción de "multiplicación con desbordamiento", que toma dos operandos de 32 bits, los multiplica y coloca el resultado de 32 bits en un registro y el desbordamiento en otro, lo que da como resultado un acarreo. Por ejemplo, estas incluyen la umullinstrucción agregada en el conjunto de instrucciones ARMv4t o la pmuludqinstrucción agregada en SSE2 que opera en los 32 bits inferiores de un registro SIMD que contiene dos líneas de 64 bits.
En las plataformas que admiten estas instrucciones, se utiliza una versión ligeramente modificada del método de cuadrícula. Las diferencias son:
0x100000000. Esto se hace normalmente desplazando el valor hacia la izquierda por 32 o colocando el valor en un registro específico que representa los 32 bits superiores.Esta sería la rutina en C:
#include <stdint.h> uint64_t multiplicar ( uint64_t ab , uint64_t cd ) { /* Estos cambios y máscaras suelen ser implícitos, ya que los enteros de 64 bits * a menudo se pasan como 2 registros de 32 bits. */ uint32_t b = ab >> 32 , a = ab & 0xFFFFFFFF ; uint32_t d = cd >> 32 , c = cd & 0xFFFFFFFF ; /* multiplicar con desbordamiento */ uint64_t ac = ( uint64_t ) a * ( uint64_t ) c ; uint32_t alto = ac >> 32 ; /* desbordamiento */ uint32_t bajo = ac & 0xFFFFFFFF ; /* Multiplicación de 32 bits y suma a los bits altos */ high += ( a * d ); /* suma ad */ high += ( b * c ); /* suma bc */ /* multiplica por 0x100000000 (mediante desplazamiento a la izquierda) y suma a los bits bajos con un binario o. */ return (( uint64_t ) high << 32 ) | low ; } Esta sería la rutina en ensamblador ARM:
multiplicar: @ a = r0 @ b = r1 @ c = r2 @ d = r3 push { r4 , lr } @ backup r4 y lr a la pila umull r12 , lr , r2 , r0 @ multiplicar r2 y r0 , almacenar el resultado en r12 y el desbordamiento en lr mla r4 , r2 , r1 , lr @ multiplicar r2 y r1 , sumar lr y almacenar en r4 mla r1 , r3 , r0 , r4 @ multiplicar r3 y r0 , sumar r4 y almacenar en r1 @ El valor se desplaza a la izquierda implícitamente porque los @ bits altos de un entero de 64 bits se devuelven en r1. mov r0 , r12 @ Establece los bits bajos del valor de retorno en r12 ( ac ) pop { r4 , lr } @ restaura r4 y lr de la pila bx lr @ devuelve los bits bajo y alto en r0 y r1 respectivamente Matemáticamente, la capacidad de descomponer una multiplicación de esta manera se conoce como ley distributiva , que se puede expresar en álgebra como la propiedad de que a ( b + c ) = ab + ac . El método de cuadrícula utiliza la propiedad distributiva dos veces para desarrollar el producto, una para el factor horizontal y otra para el factor vertical.
Históricamente, el cálculo en cuadrícula (ligeramente modificado) fue la base de un método llamado multiplicación reticular , que era el método estándar de multiplicación de varios dígitos desarrollado en las matemáticas árabes e hindúes medievales. La multiplicación reticular fue introducida en Europa por Fibonacci a principios del siglo XIII junto con los propios números arábigos; aunque, al igual que los números, las formas que sugirió para calcular con ellos tardaron inicialmente en aplicarse. Los huesos de Napier fueron una ayuda para el cálculo introducida por el escocés John Napier en 1617 para facilitar los cálculos con el método reticular.