Este artículo enumera los compuestos politópicos regulares en espacios euclidianos, esféricos e hiperbólicos.
Para cualquier número natural n, existen poligonales regulares de n puntas con símbolos de Schläfli {n/m} para todo m tales que m < n/2 (estrictamente hablando {n/m}={n/(n−m)}) y m y n son coprimos . Cuando m y n no son coprimos, el polígono estrella obtenido será un polígono regular con n / m lados. Se obtiene una nueva figura rotando estos n / m -gonos regulares un vértice a la izquierda en el polígono original hasta que el número de vértices rotados sea igual a n / m menos uno, y combinando estas figuras. Un caso extremo de esto es cuando n / m es 2, produciendo una figura que consiste en n /2 segmentos de línea recta; esto se llama polígono estrella degenerado .
En otros casos en los que n y m tienen un factor común, se obtiene un polígono en estrella para un n menor, y se pueden combinar versiones rotadas. Estas figuras se denominan figuras en estrella , polígonos en estrella impropios o polígonos compuestos . A menudo se utiliza la misma notación { n / m } para ellas, aunque autoridades como Grünbaum (1994) consideran (con cierta justificación) que la forma k { n } es más correcta, donde normalmente k = m .
Una complicación adicional surge cuando componemos dos o más polígonos estelares, como por ejemplo dos pentagramas, que difieren en una rotación de 36°, inscritos en un decágono. Esto se escribe correctamente en la forma k { n / m }, como 2{5/2}, en lugar de la forma comúnmente utilizada {10/4}.
La notación extendida de Coxeter para compuestos es de la forma c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, lo que indica que d { p , q ,...} distintos juntos cubren los vértices de { m , n ,...} c veces y las facetas de { s , t ,...} e veces. Si no existe un { m , n ,...} regular, se elimina la primera parte de la notación, dejando [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}; lo opuesto se cumple si no existe un { s , t ,...} regular. El dual de c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} es e { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...}. Si c o e son 1, pueden omitirse. Para polígonos compuestos, esta notación se reduce a { nk }[ k { n / m }]{ nk }: por ejemplo, el hexagrama puede escribirse así: {6}[2{3}]{6}.
Los polígonos oblicuos regulares también crean compuestos, como se ve en los bordes de los compuestos prismáticos de antiprismas , por ejemplo:
Un compuesto poliédrico regular se puede definir como un compuesto que, al igual que un poliedro regular, es transitivo por vértices , transitivo por aristas y transitivo por caras . Con esta definición hay 5 compuestos regulares.
La notación de Coxeter para compuestos regulares se da en la tabla anterior, incorporando símbolos de Schläfli . El material dentro de los corchetes, [ d { p , q }], denota los componentes del compuesto: d separa los { p , q }. El material antes de los corchetes denota la disposición de los vértices del compuesto: c { m , n }[ d { p , q }] es un compuesto de d { p , q } que comparten los vértices de un { m , n } contados c veces. El material después de los corchetes denota la disposición de las facetas del compuesto: [ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparten las caras de { s , t } contados e veces. Estos pueden combinarse: así, c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparten los vértices de { m , n } contados c veces y las caras de { s , t } contadas e veces. Esta notación puede generalizarse a compuestos en cualquier número de dimensiones. [1]
Si se permiten poliedros regulares impropios ( diedros y hosoedros ), entonces son posibles dos compuestos más: 2{3,4}[3{4,2}]{4,3} y su dual {3,4}[3{2,4}]2{4,3}. [2]
Existen dieciocho familias de teselaciones compuestas regulares de dos parámetros en el plano euclidiano. En el plano hiperbólico se conocen cinco familias de un parámetro y diecisiete casos aislados, pero aún no se ha demostrado que esta lista sea completa. [2]
Se debe hacer una distinción cuando un número entero se puede expresar en las formas b 2 + c 2 o b 2 + bc + c 2 de dos maneras diferentes, p. ej., 145 = 12 2 + 1 2 = 9 2 + 8 2 , o 91 = 9 2 + 9 ⋅ 1 + 1 2 = 6 2 + 6 ⋅ 5 + 5 2 . En tales casos, Coxeter anota la suma explícitamente, p. ej., {4,4}[(144+1){4,4}]{4,4} en lugar de {4,4}[(81+64){4,4}]{4,4}. [2]
Los siguientes compuestos de teselaciones hiperbólicas compactas o paracompactas eran conocidos por Coxeter en 1964, aunque entonces no se conocía una prueba de su completitud: [2]
Las familias euclidianas e hiperbólicas compuestas {4,q}[2{q,q}]{q,4} aparecen porque h{4,q} = {q,q}, es decir, tomando vértices alternos de un {4,q} se obtiene un {q,q}. Son, por tanto, los análogos euclidianos e hiperbólicos de la stella octangula esférica, que es el caso q=3. [2]
También se da el caso de que h{2q,q} = {q,2q}, obteniéndose el compuesto {2q,q}[2{q,2q}] y su dual [2{2q,q}]{q,2q}. Ahora bien, si tomamos el dual del {2q,q}, obtenemos un tercer {q,2q} cuyos vértices están en los centros de las caras alternadas de los otros dos {q,2q}; esto da el compuesto {3,2q}[3{q,2q}]2{2q,3} y su dual 2{3,2q}[3{2q,q}]{2q,3}. Estos compuestos son hiperbólicos si q > 3 y euclidianos si q = 3. Estos compuestos muestran una analogía con los compuestos esféricos {4,3,3}[2{3,3,4}], [2{4,3,3}]{3,3,4}, {3,4,3}[3{3,3,4}]2{3,4,3} y 2{3,4,3}[3{4,3,3}]{3,4,3}. [2]
Si se establece q = 8 en {4,q}[2{q,q}]{q,4}, y q = 4 en {3,2q}[3{q,2q}]2{2q,3}, se obtienen los casos especiales {4,8}[2{8,8}]{8,4} y {3,8}[3{4,8}]2{8,3}. Los {4,8} del último pueden reemplazarse por pares de {8,8} según el primero, dando el compuesto autodual {3,8}[6{8,8}]{8,3}. [2]
Coxeter enumera 32 compuestos regulares de 4-politopos regulares en su libro Regular Polytopes . [3] McMullen agrega seis en su artículo New Regular Compounds of 4-Polytopes , en el que también demuestra que la lista ahora está completa. [4] En las siguientes tablas, el superíndice (var) indica que los compuestos etiquetados son distintos de los otros compuestos con los mismos símbolos.
Existen dos compuestos diferentes de 75 teseractos: uno comparte los vértices de un teseracto de 120 celdas, mientras que el otro comparte los vértices de un teseracto de 600 celdas. De ello se deduce inmediatamente que los compuestos duales correspondientes de 75 teseractos de 16 celdas también son diferentes.
También hay catorce compuestos parcialmente regulares , que son transitivos de vértice o transitivos de célula, pero no ambos. Los siete compuestos parcialmente regulares transitivos de vértice son los duales de los siete compuestos parcialmente regulares transitivos de célula.
Aunque los politopos de 5 y 24 celdas son autoduales, sus compuestos duales (el compuesto de dos politopos de 5 celdas y el compuesto de dos politopos de 24 celdas) no se consideran regulares, a diferencia del compuesto de dos tetraedros y los diversos compuestos de polígonos duales, porque no son regulares en cuanto a vértices ni regulares en cuanto a celdas: no son facetas ni estelaciones de ningún politopo regular de 4 celdas. Sin embargo, son transitivos en cuanto a vértices, aristas, caras y celdas.
Los únicos panales euclidianos regulares compuestos son una familia infinita de compuestos de panales cúbicos , todos ellos compartiendo vértices y caras con otro panal cúbico. Este compuesto puede tener cualquier número de panales cúbicos. La notación de Coxeter es {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4}.
En 1970, CWL Garner describió dos pares duales de panales hiperbólicos regulares compuestos: el par compacto 2{5,3,4}[5{4,3,5}] y [5{5,3,4}]2{4,3,5}, y el par paracompacto {6,3,3}[5{6,3,4}] y [5{4,3,6}]{3,3,6}. No consideró compuestos regulares en vértices, en los que los vértices están en el infinito, ni (recíprocamente) compuestos regulares en celdas, en los que las celdas están centradas en el infinito. [7] En 2019, Peter McMullen (que se centró solo en el caso compacto) señaló y llenó un vacío en la prueba de completitud de Garner, de modo que ahora está demostrado que 2{5,3,4}[5{4,3,5}] y [5{5,3,4}]2{4,3,5} son los únicos compuestos hiperbólicos regulares compactos en forma de panal. [8]
No existen compuestos regulares en cinco o seis dimensiones. Se conocen tres compuestos heptadimensionales (16, 240 o 480 7-símplices ) y seis octodimensionales (16, 240 o 480 8-cubos u 8-ortoplexes ). También hay un compuesto de n -símplices en un espacio n -dimensional siempre que n sea uno menos que una potencia de dos, y también dos compuestos (uno de n -cubos y uno dual de n -ortoplexes) en un espacio n -dimensional si n es una potencia de dos.
La notación de Coxeter para estos compuestos es (usando α n = {3 n −1 }, β n = {3 n −2 ,4}, γ n = {4,3 n −2 }):
Los casos generales (donde n = 2 k y d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):
Una familia conocida de panales euclidianos compuestos regulares en cinco o más dimensiones es una familia infinita de compuestos de panales hipercúbicos , todos ellos compartiendo vértices y caras con otro panal hipercúbico. Este compuesto puede tener cualquier número de panales hipercúbicos. La notación de Coxeter es δ n [ d δ n ]δ n donde δ n = {∞} cuando n = 2 y {4,3 n −3 ,4} cuando n ≥ 3.
En cuatro dimensiones, Garner (1970) afirmó la existencia de {3,3,3,5}[26{5,3,3,5}]{5,3,3,3}; [7] aunque no se dio ninguna justificación ni construcción, McMullen (2019) demostró que esta afirmación es correcta. [8] McMullen demostró la existencia de los siguientes compuestos compactos: [8]
McMullen conjetura que esta lista está completa en lo que respecta a los compuestos compactos. Si existen más compuestos compactos, deben implicar que {4,3,3,5} o {5,3,3,5} estén inscritos en {5,3,3,3} (el único caso que aún no se ha excluido). [8]
En cinco dimensiones, sólo hay un panal hiperbólico regular cuyos vértices no están en el infinito: {3,4,3,3,3}. Por lo tanto, no existen compuestos regulares que cumplan con la restricción de Garner de que los vértices de un compuesto regular de vértices no deben estar en el infinito. En seis dimensiones o más, no hay panales hiperbólicos regulares compactos o paracompactos y, por lo tanto, no existen compuestos compactos o paracompactos. [7]