Azulejos Ammann-Beenker

Teselación no periódica del plano

Una parte del mosaico del conjunto de mosaicos aperiódicos A5 de Ammann, decorado con reglas de correspondencia locales finitas que fuerzan una estructura global infinita, la del mosaico de Amman-Beenker.

En geometría , un mosaico de Ammann-Beenker es un mosaico no periódico que puede generarse mediante un conjunto aperiódico de prototipos , como hizo Robert Ammann en la década de 1970, o mediante el método de corte y proyección, como hizo independientemente FPM Beenker. Son uno de los cinco conjuntos de mosaicos descubiertos por Ammann y descritos en Mosaicos y patrones . ^[1]

Los mosaicos de Ammann-Beenker tienen muchas propiedades similares a los mosaicos de Penrose más famosos :

• No son periódicos, lo que significa que carecen de simetría traslacional .
• Su falta de periodicidad está implícita en su estructura jerárquica: los mosaicos son mosaicos de sustitución que surgen de reglas de sustitución para parches cada vez más grandes. Esta estructura de sustitución también implica que:
• Cualquier región finita (parche) en un mosaico aparece infinitas veces en ese mosaico y, de hecho, en cualquier otro mosaico. Por lo tanto, todos los mosaicos infinitos parecen similares entre sí, si uno observa solo parches finitos.
• Son cuasicristalinos : implementados como una estructura física, un mosaico de Ammann-Beenker producirá difracción de Bragg ; el difractograma revela tanto la simetría óctuple subyacente como el orden de largo alcance. Este orden refleja el hecho de que los mosaicos están organizados, no a través de la simetría traslacional, sino más bien a través de un proceso a veces llamado "deflación" o "inflación".
• Toda esta estructura global infinita se impone mediante reglas de correspondencia local en un par de fichas, uno de los conjuntos de fichas aperiódicos más simples jamás encontrados, el conjunto A5 de Ammann. ^[1]

Se han propuesto varios métodos para describir los teselados: reglas de emparejamiento, sustituciones, esquemas de corte y proyecto ^[2] y recubrimientos. ^{[3] [4]} En 1987 Wang, Chen y Kuo anunciaron el descubrimiento de un cuasicristal con simetría octogonal. ^[5]

Descripción de las baldosas

Par de mosaicos A5 A y B de Ammán, decorados con reglas coincidentes; cualquier mosaico formado por estos mosaicos es necesariamente no periódico y, por lo tanto, los mosaicos son aperiódicos.

Reglas de sustitución de Ammann A5, utilizadas para demostrar que las fichas A5 solo pueden formar teselas jerárquicas no periódicas y, por lo tanto, son fichas aperiódicas.

Este mosaico existe en una proyección ortogonal 2D de un duoprisma 4D 8-8 construido a partir de 16 prismas octogonales .

Las fichas A y B de Amman en su par A5, un rombo de 45-135 grados y un triángulo de 45-45-90 grados, estaban decoradas con reglas de correspondencia que permitían solo ciertas disposiciones en cada región, forzando las estructuras no periódicas, jerárquicas y cuasiperiódicas de cada uno de los infinitos mosaicos individuales de Ammann-Beenker.

Un conjunto alternativo de mosaicos, también descubierto por Ammann y denominado "Ammann 4" en Grünbaum y Shephard, ^[1] consta de dos piezas no convexas con bordes en ángulo recto. Una consta de dos cuadrados superpuestos sobre un cuadrado más pequeño, mientras que la otra consta de un cuadrado grande unido a un cuadrado más pequeño. Los diagramas a continuación muestran las piezas y una parte de los mosaicos.

Esta es la regla de sustitución para el conjunto de mosaicos alternativos.

La relación entre los dos conjuntos de mosaicos.

Además de las flechas de borde en el conjunto de mosaicos habitual, las reglas de coincidencia para ambos conjuntos de mosaicos se pueden expresar dibujando piezas de flechas grandes en los vértices y exigiendo que se unan para formar flechas completas.

Katz ^[6] ha estudiado los mosaicos adicionales que se permiten al eliminar las restricciones de vértice e imponer solo el requisito de que las flechas de arista coincidan. Dado que este requisito se conserva mediante las reglas de sustitución, cualquier mosaico nuevo tiene una secuencia infinita de copias "ampliadas" obtenidas mediante aplicaciones sucesivas de la regla de sustitución. Cada mosaico en la secuencia es indistinguible de un mosaico verdadero de Ammann-Beenker en una escala sucesivamente mayor. Dado que algunos de estos mosaicos son periódicos, se deduce que no se puede determinar ninguna decoración de los mosaicos que fuerce la aperiodicidad observando cualquier parche finito del mosaico. La orientación de las flechas de vértice que fuerzan la aperiodicidad, entonces, solo se puede deducir de todo el mosaico infinito.

El teselado tiene también una propiedad extremal: entre los teselados cuyos rombos se alternan (es decir, siempre que dos rombos están adyacentes o separados por una fila de cuadrados, aparecen en orientaciones diferentes), la proporción de cuadrados resulta ser mínima en los teselados de Ammann-Beenker. ^[7]

Características de la relación Pell y plata

Las teselaciones de Ammann-Beenker están estrechamente relacionadas con la relación plata ( ) y los números de Pell . ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

• El esquema de sustitución introduce la razón como un factor de escala: su matriz es la matriz de sustitución de Pell, y la serie de palabras producidas por la sustitución tienen la propiedad de que el número de s y s son iguales a los números de Pell sucesivos. ${\displaystyle R\to RrR;r\to R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$
• Los valores propios de la matriz de sustitución son y . ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1-{\sqrt {2}}}$
• En el conjunto de mosaicos alternativos, los bordes largos tienen lados 5 veces más largos que los bordes cortos. ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$
• Un conjunto de gusanos de Conway , formado por las diagonales corta y larga de los rombos, forma las cadenas anteriores, con r como la diagonal corta y R como la diagonal larga. Por lo tanto, las barras de Ammann también forman cuadrículas ordenadas por Pell. ^[8]

Las barras Ammann para el conjunto de mosaicos habitual. Si se considera que las líneas exteriores en negrita tienen una longitud de , las barras dividen los bordes en segmentos de longitud y . Estos mosaicos se denominan mosaicos Ammann A5 . ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$

Barras de Ammann para el conjunto de mosaicos alternativo. Observe que las barras para el mosaico asimétrico se extienden parcialmente hacia afuera. Estos mosaicos se denominan mosaicos Ammann A4 .

Construcción de corte y proyección

El panal teseractico tiene una simetría rotacional óctuple, que corresponde a una simetría rotacional óctuple del teseracto . Una matriz de rotación que representa esta simetría es:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\end{bmatrix}}.}$

Transformando esta matriz a las nuevas coordenadas dadas por

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-1/2&0&-1/2&{\sqrt {2}}/2\\1/2&{\sqrt {2}}/2&-1/2&0\\-1/2&0&-1/2&-{\sqrt {2}}/2\\-1/2&{\sqrt {2}}/2&1/2&0\end{bmatrix}}}$producirá:

${\displaystyle BAB^{-1}={\begin{bmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\\0&0&-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\0&0&-{\sqrt {2}}/2&-{\sqrt {2}}/2\end{bmatrix}}.}$

Esta tercera matriz corresponde entonces a una rotación de 45° (en las dos primeras dimensiones) y de 135° (en las dos últimas). Podemos entonces obtener un mosaico de Ammann-Beenker proyectando una placa de hipercubos a lo largo de las dos primeras o de las dos últimas de las nuevas coordenadas.

Otra posibilidad es obtener un mosaico de Ammann-Beenker dibujando rombos y cuadrados alrededor de los puntos de intersección de un par de cuadrículas cuadradas de igual escala superpuestas en un ángulo de 45 grados. Estas dos técnicas fueron desarrolladas por Beenker en su artículo.

Una incrustación de alta dimensión relacionada en el panal teseractico es la construcción de Klotz, como se detalla en su aplicación aquí en el artículo de Baake y Joseph. ^[9] El dominio de aceptación octogonal puede, por lo tanto, diseccionarse aún más en partes, cada una de las cuales da lugar a exactamente una configuración de vértice. Además, el área relativa de cualquiera de estas regiones equivale a la frecuencia de la configuración de vértice correspondiente dentro del mosaico infinito.

Referencias y notas

1. Grünbaum, B. ; Shephard, GC (1986). Mosaicos y patrones . Nueva York: Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.
2. Beenker FPM, Teoría algebraica de teselados no periódicos del plano mediante dos bloques de construcción simples: un cuadrado y un rombo, TH Report 82-WSK-04 (1982), Technische Hogeschool, Eindhoven
3. F. Gähler, en Actas de la 6ª Conferencia Internacional sobre Cuasicristales, editado por S. Takeuchi y T. Fujiwara, World Scientific, Singapur, 1998, pág. 95.
4. Ben-Abraham, SI; Gähler, F. (1999). "Descripción de cúmulos de cuasicristales octagonales de MnSiAl" (PDF) . Physical Review B . 60 (2): 860–864. doi :10.1103/PhysRevB.60.860. Archivado desde el original (PDF) el 17 de junio de 2007.
5. Wang, N.; Chen, H.; Kuo, KH (1987). "Cuasicristal bidimensional con simetría rotacional óctuple" (PDF) . Physical Review Letters . 59 (9): 1010–1013. Bibcode :1987PhRvL..59.1010W. doi :10.1103/PhysRevLett.59.1010. PMID  10035936.
6. Katz, A (1995). "Reglas de emparejamiento y cuasiperiodicidad: los mosaicos octagonales". En Axel, F.; Gratias, D. (eds.). Más allá de los cuasicristales . Springer. págs. 141–189. doi :10.1007/978-3-662-03130-8_6. ISBN . 978-3-540-59251-8.
7. Bédaride, N.; Fernique, T. (2013). "Revisitando los mosaicos Ammann-Beenker". En Schmid, S.; Withers, R.; Lifshitz, R. (eds.). Cristales aperiódicos . Springer. págs. 59–65. arXiv : 1208.3545v1 . doi :10.1007/978-94-007-6431-6_8. ISBN . 978-94-007-6430-9.S2CID8483564  .​
8. Socolar, JES (1989). "Cuasicristales octagonales y dodecagonales simples". Physical Review B . 39 (15): 10519–10551. Código Bibliográfico :1989PhRvB..3910519S. doi :10.1103/PhysRevB.39.10519. PMID  9947860. MR0998533.
9. Baake, M; Joseph, D (1990). "Configuraciones de vértice ideales y defectuosas en la cuasilattice octagonal plana". Physical Review B . 42 (13): 8091–8102. Bibcode :1990PhRvB..42.8091B. doi :10.1103/physrevb.42.8091. PMID  9994979.

Enlaces externos

• Entrada de la Enciclopedia Tilings.
• Azulejos de Ammann-Beenker en el sitio web de John Savard.