Representación monomial

Tipo de representación lineal de un grupo

En los campos matemáticos de la teoría de la representación y la teoría de grupos , una representación lineal ( rho ) de un grupo es una representación monomial si existe un subgrupo de índice finito y una representación lineal unidimensional de , tal que es equivalente a la representación inducida . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G_{\sigma }}}$

Alternativamente, se puede definir como una representación cuya imagen está en las matrices monomiales .

Aquí, por ejemplo , y pueden ser grupos finitos , de modo que la representación inducida tiene un sentido clásico. La representación monomial es sólo un poco más complicada que la representación de permutación de en las clases laterales de . Sólo es necesario llevar un registro de los escalares que vienen de aplicados a los elementos de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$

Definición

Para definir la representación monomial, primero debemos introducir la noción de espacio monomial. Un espacio monomial es una terna donde es un espacio vectorial complejo de dimensión finita, es un conjunto finito y es una familia de subespacios unidimensionales de tales que . ${\displaystyle (V,X,(V_{x})_{x\in X})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (V_{x})_{x\in X}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\oplus _{x\in X}V_{x}}$

Sea ahora un grupo, la representación monomial de on es un homomorfismo de grupo tal que para cada elemento , permuta el 's, esto significa que induce una acción por permutación de on . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle V_{x}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Referencias

• "Representación monomial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Karpilovsky, Gregory (1985). Representaciones proyectivas de grupos finitos. M. Dekker. ISBN 978-0-8247-7313-7.