Moneda justa

Concepto estadístico

Una moneda justa, cuando se lanza al aire, debe tener las mismas posibilidades de caer en ambos lados hacia arriba.

En teoría de probabilidad y estadística , una secuencia de ensayos independientes de Bernoulli con probabilidad de 1/2 de éxito en cada ensayo se denomina metafóricamente moneda justa . Aquella cuya probabilidad no es 1/2 se llama moneda sesgada o injusta . En los estudios teóricos, la suposición de que una moneda es justa a menudo se hace haciendo referencia a una moneda ideal .

John Edmund Kerrich realizó experimentos lanzando monedas y descubrió que una moneda hecha con un disco de madera del tamaño de una corona y recubierta por un lado con plomo aterrizó en la cabeza (con el lado de madera hacia arriba) 679 de cada 1000 veces. ^[1] En este experimento la moneda se lanzaba balanceándola sobre el dedo índice y girándola con el pulgar para que girara en el aire aproximadamente un pie antes de aterrizar sobre un paño plano extendido sobre una mesa. Edwin Thompson Jaynes afirmó que cuando una moneda queda atrapada en la mano, en lugar de permitir que rebote, el sesgo físico de la moneda es insignificante en comparación con el método del lanzamiento, donde con suficiente práctica se puede lograr que una moneda caiga 100 veces en cara. % del tiempo. ^[2] Explorar el problema de comprobar si una moneda es justa es una herramienta pedagógica bien establecida en la enseñanza de estadística .

Definición del espacio de probabilidad

En la teoría de la probabilidad , una moneda justa se define como un espacio de probabilidad , que a su vez está definido por el espacio muestral , el espacio de eventos y la medida de probabilidad . Utilizando cara y cruz, el espacio muestral de una moneda se define como: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$$

El espacio de eventos de una moneda incluye todos los conjuntos de resultados del espacio muestral a los que se les puede asignar una probabilidad, que es el conjunto de potencias totales . Así, el espacio de eventos se define como: ${\displaystyle 2^{\Omega }}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{\},\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$$

${\displaystyle \{\}}$es el evento en el que no ocurre ninguno de los resultados (lo cual es imposible y, por lo tanto, se le puede asignar 0 probabilidad), y es el evento en el que ocurre cualquiera de los resultados (lo cual está garantizado y se le puede asignar 1 probabilidad). Debido a que la moneda es justa, la posibilidad de cualquier resultado es 50-50. La medida de probabilidad queda entonces definida por la función: ${\displaystyle \{H,T\}}$

Entonces, el espacio de probabilidad total que define una moneda justa es el triplete definido anteriormente. Tenga en cuenta que esta no es una variable aleatoria porque cara y cruz no tienen valores numéricos inherentes como los que se pueden encontrar en un dado justo de dos valores. Una variable aleatoria agrega la estructura adicional de asignar un valor numérico a cada resultado. Las opciones comunes son o . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (H,T)\to (1,0)}$ ${\displaystyle (H,T)\to (1,-1)}$

Papel en la enseñanza y la teoría estadística.

Las propiedades probabilísticas y estadísticas de los juegos de lanzamiento de monedas se utilizan a menudo como ejemplos en libros de texto tanto introductorios como avanzados y se basan principalmente en asumir que una moneda es justa o "ideal". Por ejemplo, Feller utiliza esta base para introducir tanto la idea de paseos aleatorios como para desarrollar pruebas de homogeneidad dentro de una secuencia de observaciones observando las propiedades de las series de valores idénticos dentro de una secuencia. ^[3] Este último conduce a una prueba de ejecución . Una serie de tiempo que consta del resultado de lanzar una moneda al aire se llama proceso de Bernoulli .

Resultados justos de una moneda sesgada

Si un tramposo ha alterado una moneda para preferir un lado sobre el otro (una moneda sesgada), la moneda aún se puede usar para obtener resultados justos cambiando ligeramente el juego. John von Neumann dio el siguiente procedimiento: ^[4]

1. Lanza la moneda dos veces.
2. Si los resultados coinciden, comience de nuevo, olvidándose de ambos resultados.
3. Si los resultados difieren, utilice el primer resultado, olvidándose del segundo.

La razón por la que este proceso produce un resultado justo es que la probabilidad de obtener cara y luego cruz debe ser la misma que la probabilidad de obtener cruz y luego cara, ya que la moneda no cambia su sesgo entre lanzamientos y los dos lanzamientos son independientes. Esto sólo funciona si obtener un resultado en una prueba no cambia el sesgo en pruebas posteriores, lo cual es el caso de la mayoría de las monedas no maleables (pero no de procesos como la urna Pólya ). Al excluir los eventos de dos caras y dos cruces repitiendo el procedimiento, al lanzador de la moneda le quedan los únicos dos resultados restantes que tienen una probabilidad equivalente. Este procedimiento sólo funciona si los lanzamientos se emparejan correctamente; Si parte de un par se reutiliza en otro par, la equidad puede arruinarse. Además, la moneda no debe estar tan sesgada que una de sus caras tenga una probabilidad de cero .

Este método puede ampliarse considerando también secuencias de cuatro lanzamientos. Es decir, si la moneda se lanza dos veces pero los resultados coinciden, y la moneda se lanza dos veces nuevamente pero los resultados coinciden ahora para el lado opuesto, entonces se puede usar el primer resultado. Esto se debe a que HHTT y TTHH tienen la misma probabilidad. Esto se puede extender a cualquier múltiplo de 2.

El valor esperado de los lanzamientos en el juego n no es difícil de calcular, primero observe que en el paso 3 sea cual sea el evento o hemos lanzado la moneda dos veces, pero en el paso 2 ( o ) también tenemos que rehacer las cosas para que tengamos 2 lanzamientos más el valor esperado de los lanzamientos del siguiente juego, pero a medida que comenzamos de nuevo, el valor esperado del siguiente juego es el mismo que el valor del juego anterior o de cualquier otro juego, por lo que realmente no depende de n (esto Se puede entender que el proceso es una martingala en la que tomando nuevamente la expectativa obtenemos eso, pero debido a la ley de la expectativa total obtenemos eso ), por lo tanto tenemos: ${\displaystyle E(F_{n})}$ ${\displaystyle HT}$ ${\displaystyle TH}$ ${\displaystyle E(F_{n}|HT,TH)=2}$ ${\displaystyle TT}$ ${\displaystyle HH}$ ${\displaystyle E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})}$ ${\displaystyle E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})}$ ${\displaystyle E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1})=F_{n}}$ ${\displaystyle E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})}$ ${\displaystyle E(F_{n+1})=E(E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1}))=E(F_{n})}$

El gráfico de lo más alejado es del número esperado de lanzamientos antes de un resultado exitoso. ${\displaystyle {\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}}$ ${\displaystyle P(H)}$ ${\displaystyle 0.5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(F)&=E(F_{n})\\&=E(F_{n}|TT,HH)P(TT,HH)+E(F_{n}|HT,TH)P(HT,TH)\\&=(2+E(F_{n+1}))P(TT,HH)+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))P(TT,HH))+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))(P(TT)+P(HH))+2(P(HT)+P(TH))\\&=(2+E(F))(P(T)^{2}+P(H)^{2})+4P(H)P(T)\\&=(2+E(F))(1-2P(H)P(T))+4P(H)P(T)\\&=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \therefore E(F)=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\Rightarrow E(F)={\frac {1}{P(H)P(T)}}={\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}}$

Cuanto más sesgada esté nuestra moneda, más probable será que tengamos que realizar un mayor número de pruebas antes de obtener un resultado justo.

Ver también

• Comprobar si una moneda es justa
• Lanzamiento de moneda
• Constantes de lanzamiento de monedas de Feller

Referencias

1. Kerrich, John Edmund (1946). Una introducción experimental a la teoría de la probabilidad . E. Munksgaard.
2. Jaynes, et (2003). Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 318.ISBN​ 9780521592710. Archivado desde el original el 5 de febrero de 2002. Cualquiera que esté familiarizado con la ley de conservación del momento angular puede, después de un poco de práctica, hacer trampa en el habitual juego de lanzar una moneda y tomar decisiones con un 100 por ciento de precisión. Puedes obtener cualquier frecuencia de cabezas que desees; ¡Y el sesgo de la moneda no tiene ninguna influencia en los resultados!{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
3. Feller, W (1968). Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Wiley. ISBN 978-0-471-25708-0.
4. von Neumann, Juan (1951). "Diversas técnicas utilizadas en relación con dígitos aleatorios". Serie de Matemáticas Aplicadas de la Oficina Nacional de Estándares . 12 : 36.

Otras lecturas

• Gelman, Andrés; Déborah Nolan (2002). "Rincón del profesor: se puede cargar un dado, pero no se puede sesgar una moneda". Estadístico estadounidense . 56 (4): 308–311. doi :10.1198/000313002605.Disponible en el sitio web de Andrew Gelman
• "El desacreditador de toda la vida asume el papel de árbitro de decisiones neutrales: un mago convertido en matemático descubre prejuicios con solo lanzar una moneda". Informe Stanford . 2004-06-07 . Consultado el 5 de marzo de 2008 .
• John von Neumann, "Various Techniques Used In Connection with Random Digits", en AS Householder, GE Forsythe y HH Germond, eds., Monte Carlo Method , National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, 12 (Washington, DC: US ​​Government Printing Oficina, 1951): 36-38.