En teoría de grafos , una rama de las matemáticas, las gráficas modulares son gráficas no dirigidas en las que cada tres vértices x , y y z tienen al menos un vértice mediano m ( x , y , z ) que pertenece a los caminos más cortos entre cada par de x. , y y z . [1] Su nombre proviene del hecho de que una red finita es una red modular si y sólo si su diagrama de Hasse es un gráfico modular. [2]
No es posible que un gráfico modular contenga un ciclo de longitud impar. Porque, si C es un ciclo impar más corto en un gráfico, x es un vértice de C e yz es el borde de C más alejado de x , no podría haber una mediana m ( x , y , z ) . En este caso, los únicos vértices en el camino más corto yz son los propios y y z . Ninguno de los dos puede pertenecer a un camino más corto de x al otro sin atajar C y crear un ciclo impar más corto. Como no tienen ciclos impares, todo gráfico modular es un gráfico bipartito . [1]
Las gráficas modulares contienen como caso especial las gráficas de medianas , en las que cada tripleta de vértices tiene una mediana única; [1] los gráficos de mediana están relacionados con las redes distributivas de la misma manera que los gráficos modulares están relacionados con las redes modulares. Sin embargo, los gráficos modulares también incluyen otros gráficos, como los gráficos bipartitos completos donde las medianas no son únicas: cuando los tres vértices x , y y z pertenecen todos a un lado de la bipartición de un gráfico bipartito completo, cada vértice del el otro lado es una mediana. [2] Cada gráfico bipartito cordal (una clase de gráficos que incluye los gráficos bipartitos completos y los gráficos bipartitos hereditarios de distancia ) es modular. [1]