Modelo no lineal de efectos mixtos

Los modelos no lineales de efectos mixtos constituyen una clase de modelos estadísticos que generalizan los modelos lineales de efectos mixtos . Al igual que los modelos lineales de efectos mixtos, son particularmente útiles en entornos en los que hay múltiples mediciones dentro de las mismas unidades estadísticas o cuando hay dependencias entre mediciones en unidades estadísticas relacionadas. Los modelos no lineales de efectos mixtos se aplican en muchos campos, entre ellos la medicina , la salud pública , la farmacología y la ecología . ^{[1] [2]}

Definición

Si bien cualquier modelo estadístico que contenga tanto efectos fijos como efectos aleatorios es un ejemplo de un modelo no lineal de efectos mixtos, los modelos más comúnmente utilizados son miembros de la clase de modelos no lineales de efectos mixtos para medidas repetidas ^[1].

${\displaystyle {y}_{ij}=f(\phi _{ij},{v}_{ij})+\epsilon _{ij},\quad i=1,\ldots ,M,\,j=1,\ldots ,n_{i}}$

dónde

• ${\displaystyle M}$es el número de grupos/asignaturas,
• ${\displaystyle n_{i}}$es el número de observaciones para el grupo/sujeto, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle f}$es una función diferenciable de valor real de un vector de parámetros específicos del grupo y un vector de covariables , ${\displaystyle \phi _{ij}}$ ${\displaystyle v_{ij}}$
• ${\displaystyle \phi _{ij}}$se modela como un modelo lineal de efectos mixtos donde es un vector de efectos fijos y es un vector de efectos aleatorios asociados con el grupo , y ${\displaystyle \phi _{ij}={\boldsymbol {A}}_{ij}\beta +{\boldsymbol {B}}_{ij}{\boldsymbol {b}}_{i},}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$es una variable aleatoria que describe ruido aditivo.

Estimación

Cuando el modelo es solo no lineal en efectos fijos y los efectos aleatorios son gaussianos, la estimación de máxima verosimilitud se puede realizar utilizando métodos de mínimos cuadrados no lineales , aunque las propiedades asintóticas de los estimadores y las estadísticas de prueba pueden diferir del modelo lineal general convencional . En el contexto más general, existen varios métodos para realizar la estimación de máxima verosimilitud o la estimación máxima a posteriori en ciertas clases de modelos no lineales de efectos mixtos, generalmente bajo el supuesto de variables aleatorias distribuidas normalmente. Un enfoque popular es el algoritmo Lindstrom-Bates ^[3] que se basa en optimizar iterativamente un problema no lineal, linealizar localmente el modelo alrededor de este óptimo y luego emplear métodos convencionales de modelos lineales de efectos mixtos para realizar la estimación de máxima verosimilitud. La aproximación estocástica del algoritmo de maximización de expectativas proporciona un enfoque alternativo para realizar la estimación de máxima verosimilitud. ^[4]

Aplicaciones

Ejemplo: Modelado de la progresión de la enfermedad

Los modelos no lineales de efectos mixtos se han utilizado para modelar la progresión de la enfermedad. ^[5] En la enfermedad progresiva , los patrones temporales de progresión en las variables de resultado pueden seguir una forma temporal no lineal que es similar entre pacientes. Sin embargo, es posible que no se conozca el estadio de la enfermedad de un individuo o que solo se conozca parcialmente a partir de lo que se puede medir. Por lo tanto, se puede incluir en el modelo una variable de tiempo latente que describa el estadio individual de la enfermedad (es decir, dónde se encuentra el paciente a lo largo de la curva media no lineal).

Ejemplo: Modelización del deterioro cognitivo en la enfermedad de Alzheimer

Ejemplo de modelado de la progresión de la enfermedad a partir de puntuaciones ADAS-Cog longitudinales utilizando el paquete progmod R. ^[5]

La enfermedad de Alzheimer se caracteriza por un deterioro cognitivo progresivo. Sin embargo, los pacientes pueden diferir ampliamente en capacidad y reserva cognitivas , por lo que las pruebas cognitivas en un único momento a menudo solo se pueden utilizar para agrupar de forma aproximada a los individuos en diferentes etapas de la enfermedad . Ahora supongamos que tenemos un conjunto de datos cognitivos longitudinales de individuos que están categorizados como con cognición normal (CN), deterioro cognitivo leve (DCL) o demencia (DEM) en la visita de referencia (momento correspondiente a la medición ). Estas trayectorias longitudinales se pueden modelar utilizando un modelo de efectos mixtos no lineal que permite diferencias en el estado de la enfermedad en función de la categorización inicial: ${\displaystyle (y_{i1},\ldots ,y_{in_{i}})}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,M}$ ${\displaystyle t_{i1}=0}$ ${\displaystyle y_{i1}}$

${\displaystyle {y}_{ij}=f_{\tilde {\beta }}(t_{ij}+A_{i}^{MCI}\beta ^{MCI}+A_{i}^{DEM}\beta ^{DEM}+b_{i})+\epsilon _{ij},\quad i=1,\ldots ,M,\,j=1,\ldots ,n_{i}}$

dónde

• ${\displaystyle f_{\tilde {\beta }}}$es una función que modela el perfil temporal medio del deterioro cognitivo cuya forma está determinada por los parámetros , ${\displaystyle {\tilde {\beta }}}$
• ${\displaystyle t_{ij}}$representa el tiempo de observación (por ejemplo, el tiempo transcurrido desde el inicio del estudio),
• ${\displaystyle A_{i}^{MCI}}$y son variables ficticias que son 1 si el individuo tiene deterioro cognitivo leve o demencia al inicio y 0 en caso contrario, ${\displaystyle A_{i}^{DEM}}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \beta ^{MCI}}$y son parámetros que modelan la diferencia en la progresión de la enfermedad de los grupos con deterioro cognitivo leve (DCL) y demencia en relación con los cognitivamente normales. ${\displaystyle \beta ^{DEM}}$
• ${\displaystyle b_{i}}$es la diferencia en el estadio de la enfermedad de un individuo en relación con su categoría de referencia, y ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$es una variable aleatoria que describe ruido aditivo.

En el recuadro se muestra un ejemplo de un modelo de este tipo con una función de media exponencial ajustada a mediciones longitudinales de la subescala cognitiva de la Escala de evaluación de la enfermedad de Alzheimer (ADAS-Cog). Como se muestra, la inclusión de efectos fijos de la categorización inicial (DCL o demencia en relación con la cognición normal) y el efecto aleatorio de la etapa continua individual de la enfermedad alinea las trayectorias del deterioro cognitivo para revelar un patrón común de deterioro cognitivo. ${\displaystyle b_{i}}$

Ejemplo: Análisis de crecimiento

Estimación de una curva de altura media para niños del Berkeley Growth Study con y sin deformación. El modelo de deformación se ajusta como un modelo no lineal de efectos mixtos utilizando el paquete R pavpop. ^[6]

Los fenómenos de crecimiento a menudo siguen patrones no lineales (por ejemplo , crecimiento logístico , crecimiento exponencial y crecimiento hiperbólico ). Factores como la deficiencia de nutrientes pueden afectar directamente el resultado medido (por ejemplo, los organismos con falta de nutrientes terminan siendo más pequeños), pero posiblemente también el tiempo (por ejemplo, los organismos con falta de nutrientes crecen a un ritmo más lento). Si un modelo no tiene en cuenta las diferencias en el tiempo, las curvas estimadas a nivel de población pueden suavizar los detalles más finos debido a la falta de sincronización entre los organismos. Los modelos no lineales de efectos mixtos permiten el modelado simultáneo de las diferencias individuales en los resultados y el tiempo de crecimiento.

Ejemplo: Modelado de la altura humana

Los modelos para estimar las curvas medias de la altura y el peso humanos en función de la edad y la variación natural alrededor de la media se utilizan para crear gráficos de crecimiento . Sin embargo, el crecimiento de los niños puede desincronizarse debido a factores genéticos y ambientales. Por ejemplo, la edad de inicio de la pubertad y el estirón asociado pueden variar varios años entre adolescentes. Por lo tanto, los estudios transversales pueden subestimar la magnitud del estirón puberal porque la edad no está sincronizada con el desarrollo biológico. Las diferencias en el desarrollo biológico se pueden modelar utilizando efectos aleatorios que describen un mapeo de la edad observada a una edad biológica latente utilizando una llamada función de deformación . Un modelo simple no lineal de efectos mixtos con esta estructura se da por ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}_{i}}$ ${\displaystyle v(\cdot ,{\boldsymbol {w}}_{i})}$

${\displaystyle {y}_{ij}=f_{\beta }(v(t_{ij},{\boldsymbol {w}}_{i}))+\epsilon _{ij},\quad i=1,\ldots ,M,\,j=1,\ldots ,n_{i}}$

dónde

• ${\displaystyle f_{\beta }}$es una función que representa el desarrollo de la altura de un niño típico en función de la edad. Su forma está determinada por los parámetros , ${\displaystyle \beta }$
• ${\displaystyle t_{ij}}$¿Es la edad del niño correspondiente a la medida de altura ? ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{ij}}$
• ${\displaystyle v(\cdot ,{\boldsymbol {w}}_{i})}$es una función de deformación que asigna la edad al desarrollo biológico para sincronizar. Su forma está determinada por los efectos aleatorios . ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}_{i}}$
• ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$es una variable aleatoria que describe la variación aditiva (por ejemplo, diferencias consistentes en altura entre niños y ruido de medición).

Existen varios métodos y paquetes de software para ajustar dichos modelos. El llamado modelo SITAR ^[7] puede ajustar dichos modelos utilizando funciones de deformación que son transformaciones afines del tiempo (es decir, cambios aditivos en la edad biológica y diferencias en la tasa de maduración), mientras que el llamado modelo pavpop ^[6] puede ajustar modelos con funciones de deformación que varían suavemente . Un ejemplo de este último se muestra en el recuadro.

Ejemplo: Modelado farmacocinético/farmacodinámico de población

Procesos farmacocinéticos básicos que afectan el destino de las sustancias ingeridas. Se puede utilizar el modelado no lineal de efectos mixtos para estimar los efectos de estos procesos a nivel de población y, al mismo tiempo, modelar la variación individual entre sujetos.

Los modelos PK/PD para describir las relaciones exposición-respuesta, como el modelo Emax, se pueden formular como modelos de efectos mixtos no lineales. ^[8] El enfoque de modelo mixto permite modelar tanto las diferencias a nivel poblacional como las individuales en los efectos que tienen un efecto no lineal sobre los resultados observados, por ejemplo, la velocidad a la que se metaboliza o distribuye un compuesto en el cuerpo.

Ejemplo: modelado epidemiológico de COVID-19

Trayectorias de infección extrapoladas de 40 países gravemente afectados por COVID-19 y promedio general (poblacional) hasta el 14 de mayo

La plataforma de los modelos no lineales de efectos mixtos se puede utilizar para describir las trayectorias de infección de los sujetos y comprender algunas características comunes que comparten. En los problemas epidemiológicos, los sujetos pueden ser países, estados o condados, etc. Esto puede ser particularmente útil para estimar una tendencia futura de la epidemia en una etapa temprana de la pandemia, cuando se conoce muy poca información sobre la enfermedad. ^[9]

Ejemplo: Predicción de la curva de producción de petróleo de pozos de petróleo de esquisto en una nueva ubicación con kriging latente

Predicción de la curva de declive de la tasa de producción de petróleo obtenida mediante kriging latente. 324 pozos de entrenamiento y dos pozos de prueba en el yacimiento de esquisto Eagle Ford del sur de Texas (arriba a la izquierda); un ejemplo esquemático de un pozo horizontal fracturado hidráulicamente (abajo a la izquierda); curvas predichas en pozos de prueba mediante el método de kriging latente (derecha)

El éxito final de los proyectos de explotación petrolera depende en gran medida de los costes de construcción de los pozos. En el caso de los yacimientos de petróleo y gas no convencionales , debido a su muy baja permeabilidad y a un mecanismo de flujo muy diferente del de los yacimientos convencionales, las estimaciones de los costes de construcción de los pozos suelen contener altos niveles de incertidumbre, y las compañías petroleras deben realizar grandes inversiones en la fase de perforación y terminación de los pozos. Se sabe que la tasa de éxito comercial reciente de los pozos horizontales en los Estados Unidos es del 65%, lo que implica que sólo 2 de cada 3 pozos perforados tendrán éxito comercial. Por este motivo, una de las tareas cruciales de los ingenieros petroleros es cuantificar la incertidumbre asociada a la producción de petróleo o gas de los yacimientos de esquisto y, además, predecir un comportamiento aproximado de la producción de un nuevo pozo en una nueva ubicación dados los datos específicos de terminación antes de que se realice la perforación real para ahorrar una gran cantidad de costes de construcción del pozo.

La plataforma de los modelos de efectos mixtos no lineales se puede ampliar para considerar la asociación espacial incorporando los procesos geoestadísticos como el proceso gaussiano en la segunda etapa del modelo de la siguiente manera: ^[10]

${\displaystyle {y}_{it}=\mu (t;\theta _{1i},\theta _{2i},\theta _{3i})+\epsilon _{it},\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad i=1,\ldots ,N,\,t=1,\ldots ,T_{i},}$

${\displaystyle \theta _{li}=\theta _{l}(s_{i})=\alpha _{l}+\sum _{j=1}^{p}\beta _{lj}x_{j}+\epsilon _{l}(s_{i})+\eta _{l}(s_{i}),\quad \epsilon _{l}(\cdot )\sim GWN(\sigma _{l}^{2}),\quad \quad l=1,2,3,}$ ${\displaystyle \eta _{l}(\cdot )\sim GP(0,K_{\gamma _{l}}(\cdot ,\cdot )),\quad K_{\gamma _{l}}(s_{i},s_{j})=\gamma _{l}^{2}\exp(-e^{\rho _{l}}\|s_{i}-s_{j}\|^{2}),\quad \quad \quad l=1,2,3,}$ ${\displaystyle \beta _{lj}|\lambda _{lj},\tau _{l},\sigma _{l}\sim N(0,\sigma _{l}^{2}\tau _{l}^{2}\lambda _{lj}^{2}),\quad \sigma ,\lambda _{lj},\tau _{l},\sigma _{l}\sim C^{+}(0,1),\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad l=1,2,3,\,j=1,\cdots ,p,}$ ${\displaystyle \alpha _{l}\sim \pi (\alpha )\propto 1,\quad \sigma _{l}^{2}\sim \pi (\sigma ^{2})\propto 1/\sigma ^{2},\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad l=1,2,3,}$

dónde

• ${\displaystyle \mu (t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$es una función que modela el perfil temporal medio de la tasa de producción de petróleo en escala logarítmica cuya forma está determinada por los parámetros . La función se obtiene al aplicar el logaritmo a la curva de declinación de la tasa utilizada en el análisis de la curva de declinación , ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$
• ${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},\cdots ,x_{ip})^{\top }}$representa covariables obtenidas del proceso de finalización del fracturamiento hidráulico y perforación direccional horizontal para el pozo -ésimo, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle s_{i}=(s_{i1},s_{i2})^{\top }}$representa la ubicación espacial (longitud, latitud) del pozo -ésimo, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \epsilon _{l}(\cdot )}$representa el ruido blanco gaussiano con variación de error (también llamado efecto pepita), ${\displaystyle \sigma _{l}^{2}}$
• ${\displaystyle \eta _{l}(\cdot )}$representa el proceso gaussiano con función de covarianza gaussiana , ${\displaystyle K_{\gamma _{l}}(\cdot ,\cdot )}$
• ${\displaystyle \beta }$representa la contracción en herradura previa.

Las regresiones del proceso gaussiano utilizadas en el nivel latente (la segunda etapa) finalmente producen predictores de kriging para los parámetros de la curva que determinan la forma de la curva media en el nivel de datos (el primer nivel). Como las técnicas de kriging se han empleado en el nivel latente, esta técnica se denomina kriging latente. Los paneles de la derecha muestran los resultados de la predicción del método de kriging latente aplicado a los dos pozos de prueba en el yacimiento de esquisto Eagle Ford del sur de Texas. ${\displaystyle (\theta _{1i},\theta _{2i},\theta _{3i}),(i=1,\cdots ,N),}$ ${\displaystyle \mu (t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$

Modelo bayesiano no lineal de efectos mixtos

Ciclo de investigación bayesiano utilizando el modelo bayesiano de efectos mixtos no lineales: (a) ciclo de investigación estándar y (b) flujo de trabajo específico bayesiano. ^[11]

El marco de modelado jerárquico bayesiano se utiliza con frecuencia en diversas aplicaciones. En particular, los modelos bayesianos no lineales de efectos mixtos han recibido recientemente una atención significativa. Una versión básica de los modelos bayesianos no lineales de efectos mixtos se representa en las tres etapas siguientes:

Etapa 1: Modelo a nivel individual

${\displaystyle {y}_{ij}=f(t_{ij};\theta _{1i},\theta _{2i},\ldots ,\theta _{li},\ldots ,\theta _{Ki})+\epsilon _{ij},\quad \epsilon _{ij}\sim N(0,\sigma ^{2}),\quad i=1,\ldots ,N,\,j=1,\ldots ,M_{i}.}$

Etapa 2: Modelo de población

${\displaystyle \theta _{li}=\alpha _{l}+\sum _{b=1}^{P}\beta _{lb}x_{ib}+\eta _{li},\quad \eta _{li}\sim N(0,\omega _{l}^{2}),\quad i=1,\ldots ,N,\,l=1,\ldots ,K.}$

Etapa 3: Previa

${\displaystyle \sigma ^{2}\sim \pi (\sigma ^{2}),\quad \alpha _{l}\sim \pi (\alpha _{l}),\quad (\beta _{l1},\ldots ,\beta _{lb},\ldots ,\beta _{lP})\sim \pi (\beta _{l1},\ldots ,\beta _{lb},\ldots ,\beta _{lP}),\quad \omega _{l}^{2}\sim \pi (\omega _{l}^{2}),\quad l=1,\ldots ,K.}$

Aquí, denota la respuesta continua del -ésimo sujeto en el punto temporal , y es la -ésima covariable del -ésimo sujeto. Los parámetros involucrados en el modelo se escriben en letras griegas. es una función conocida parametrizada por el vector -dimensional . Normalmente, es una función "no lineal" y describe la trayectoria temporal de los individuos. En el modelo, y describen la variabilidad intraindividual y la variabilidad entre individuos, respectivamente. Si no se considera la Etapa 3: previa , entonces el modelo se reduce a un modelo frecuentista no lineal de efectos mixtos. ${\displaystyle y_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t_{ij}}$ ${\displaystyle x_{ib}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f(t;\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$ ${\displaystyle \eta _{li}}$

Una tarea central en la aplicación de los modelos bayesianos no lineales de efectos mixtos es evaluar la densidad posterior:

${\displaystyle \pi (\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K}|\{y_{ij}\}_{i=1,j=1}^{N,M_{i}})}$

${\displaystyle \propto \pi (\{y_{ij}\}_{i=1,j=1}^{N,M_{i}},\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})}$

${\displaystyle =\underbrace {\pi (\{y_{ij}\}_{i=1,j=1}^{N,M_{i}}|\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2})} _{Stage1:Individual-LevelModel}\times \underbrace {\pi (\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K}|\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})} _{Stage2:PopulationModel}\times \underbrace {p(\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})} _{Stage3:Prior}}$

El panel de la derecha muestra el ciclo de investigación bayesiano utilizando el modelo no lineal bayesiano de efectos mixtos. ^[12] Un ciclo de investigación que utiliza el modelo no lineal bayesiano de efectos mixtos comprende dos pasos: (a) ciclo de investigación estándar y (b) flujo de trabajo específico bayesiano. El ciclo de investigación estándar implica la revisión de la literatura, la definición de un problema y la especificación de la pregunta de investigación y la hipótesis. El flujo de trabajo específico bayesiano comprende tres subpasos: (b)–(i) formalización de distribuciones previas basadas en el conocimiento de fondo y la elicitación previa; (b)–(ii) determinación de la función de verosimilitud basada en una función no lineal ; y (b)–(iii) realización de una inferencia posterior. La inferencia posterior resultante se puede utilizar para iniciar un nuevo ciclo de investigación. ${\displaystyle f}$

Véase también

• Modelo mixto
• Modelo de efectos fijos
• Modelo lineal generalizado mixto
• Regresión lineal
• Análisis de varianza de diseño mixto
• Modelo multinivel
• Modelo de efectos aleatorios
• Diseño de medidas repetidas

Referencias

1. Pinheiro, J; Bates, DM (2006). Modelos de efectos mixtos en S y S-PLUS . Estadística y computación. Nueva York: Springer Science & Business Media. doi :10.1007/b98882. ISBN 0-387-98957-9.
2. Bolker, BM (2008). Modelos y datos ecológicos en R. Princeton University Press. {{cite book}}: |website=ignorado ( ayuda )
3. Lindstrom, MJ; Bates, DM (1990). "Modelos de efectos mixtos no lineales para datos de medidas repetidas". Biometrics . 46 (3): 673–687. doi :10.2307/2532087. JSTOR  2532087. PMID  2242409.
4. Kuhn, E; Lavielle, M (2005). "Estimación de máxima verosimilitud en modelos no lineales de efectos mixtos". Computational Statistics & Data Analysis . 49 (4): 1020–1038. doi :10.1016/j.csda.2004.07.002.
5. Raket, LL (2020). "Modelado estadístico de la progresión de la enfermedad en la enfermedad de Alzheimer". Frontiers in Big Data . 3 : 24. doi : 10.3389/fdata.2020.00024 . PMC 7931952 . PMID  33693397. S2CID  221105601. 
6. Raket LL, Sommer S, Markussen B (2014). "Un modelo no lineal de efectos mixtos para el suavizado y registro simultáneos de datos funcionales". Pattern Recognition Letters . 38 : 1–7. doi :10.1016/j.patrec.2013.10.018.
7. Cole TJ, Donaldson MD, Ben-Shlomo Y (2010). "SITAR: un instrumento útil para el análisis de la curva de crecimiento". Revista Internacional de Epidemiología . 39 (6): 1558–66. doi : 10.1093/ije/dyq115 . PMC 2992626 . PMID  20647267. S2CID  17816715. 
8. Jonsson, EN; Karlsson, MO; Wade, JR (2000). "Detección de no linealidad: ventajas del modelado no lineal de efectos mixtos". AAPS PharmSci . 2 (3): E32. doi :10.1208/ps020332. PMC 2761142 . PMID  11741248. 
9. Lee, Se Yoon; Lei, Bowen; Mallick, Bani (2020). "Estimación de curvas de propagación de COVID-19 integrando datos globales y tomando prestada información". PLOS ONE . ​​15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . doi : 10.1371/journal.pone.0236860 . PMC 7390340 . PMID  32726361. 
10. Lee, Se Yoon; Mallick, Bani (2021). "Modelado jerárquico bayesiano: aplicación a los resultados de producción en Eagle Ford Shale del sur de Texas". Sankhya B . 84 : 1–43. doi :10.1007/s13571-020-00245-8.
11. Lee, Se Yoon (2022). "Modelos no lineales bayesianos para datos de medición repetidos: descripción general, implementación y aplicaciones". Matemáticas . 10 (6): 898. arXiv : 2201.12430 . doi : 10.3390/math10060898 .
12. Lee, Se Yoon (2022). "Modelos no lineales bayesianos para datos de medición repetidos: descripción general, implementación y aplicaciones". Matemáticas . 10 (6): 898. arXiv : 2201.12430 . doi : 10.3390/math10060898 .