Modelo fucsia

Representación grupal de una superficie de Riemann

En matemáticas , un modelo fuchsiano es una representación de una superficie hiperbólica de Riemann R como cociente del semiplano superior H por un grupo fuchsiano . Toda superficie hiperbólica de Riemann admite una representación de este tipo. El concepto recibe su nombre de Lazarus Fuchs .

Una definición más precisa

Por el teorema de uniformización , toda superficie de Riemann es elíptica , parabólica o hiperbólica . Más precisamente, este teorema establece que una superficie de Riemann que no es isomorfa ni a la esfera de Riemann (el caso elíptico) ni a un cociente del plano complejo por un subgrupo discreto (el caso parabólico) debe ser un cociente del plano hiperbólico por un subgrupo que actúe de forma propiamente discontinua y libre . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

En el modelo de semiplano de Poincaré para el plano hiperbólico, el grupo de transformaciones biholomórficas es el grupo que actúa por homografías , y el teorema de uniformización significa que existe un subgrupo discreto libre de torsión tal que la superficie de Riemann es isomorfa a . Un grupo de este tipo se denomina grupo fuchsiano y el isomorfismo se denomina modelo fuchsiano para . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ ${\displaystyle R}$

Modelos fucsianos y espacio de Teichmüller

Sea una superficie hiperbólica cerrada y sea un grupo fuchsiano de modo que sea un modelo fuchsiano para . Sea y otorgue a este conjunto la topología de convergencia puntual (a veces llamada "convergencia algebraica"). En este caso particular, esta topología se puede definir más fácilmente de la siguiente manera: el grupo es finitamente generado ya que es isomorfo al grupo fundamental de . Sea un conjunto generador: entonces cualquier está determinado por los elementos y por lo tanto podemos identificar con un subconjunto de por la función . Luego le damos la topología de subespacio. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\colon \rho {\text{ is faithful and discrete }}\}}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{r}}$ ${\displaystyle \rho \in A(\Gamma )}$ ${\displaystyle \rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})}$ ${\displaystyle A(\Gamma )}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r}}$ ${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))}$

El teorema de isomorfismo de Nielsen (esta no es una terminología estándar y este resultado no está directamente relacionado con el teorema de Dehn-Nielsen ) tiene entonces la siguiente afirmación:

Para cualquier existe un autohomeomorfismo ( de hecho, una función cuasiconforme ) del semiplano superior tal que para todo . ${\displaystyle \rho \in A(\Gamma )}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

La demostración es muy sencilla: se elige un homeomorfismo y se eleva al plano hiperbólico. Si se toma un difeomorfismo se obtiene una función cuasiconforme, ya que es compacta. ${\displaystyle R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H} }$ ${\displaystyle R}$

Este resultado puede verse como la equivalencia entre dos modelos para el espacio de Teichmüller de : el conjunto de representaciones fieles discretas del grupo fundamental en conjugación módulo y el conjunto de superficies de Riemann marcadas donde es un homeomorfismo cuasiconforme módulo una relación de equivalencia natural. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \pi _{1}(R)}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle f\colon R\to X}$

Véase también

• El modelo kleiniano , una construcción análoga para 3-variedades
• Polígono fundamental

Referencias

Matsuzaki, K.; Taniguchi, M.: Variedades hiperbólicas y grupos kleinianos. Oxford (1998).