Criterio de Stoner

El criterio de Stoner es una condición que debe cumplirse para que se dé el orden ferromagnético en un modelo simplificado de un sólido. Recibe su nombre en honor a Edmund Clifton Stoner .

Modelo de Stoner del ferromagnetismo

Estructura esquemática de bandas para el modelo de Stoner del ferromagnetismo. Una interacción de intercambio ha dividido la energía de los estados con espines diferentes, y los estados cercanos a la energía de Fermi E _F están polarizados por espín.

El ferromagnetismo se deriva en última instancia de la exclusión de Pauli. El modelo simplificado de un sólido, que hoy en día se suele denominar modelo de Stoner , se puede formular en términos de relaciones de dispersión para electrones de espín ascendente y descendente.

${\displaystyle E_{\uparrow }(k)=\epsilon (k)-I{\frac {N_{\uparrow }-N_{\downarrow }}{N}},\qquad E_{\downarrow }(k)=\epsilon (k)+I{\frac {N_{\uparrow }-N_{\downarrow }}{N}},}$

donde el segundo término representa la energía de intercambio , es el parámetro de Stoner, ( ) es la densidad adimensional ^{[nota 1]} de electrones de espín hacia arriba (hacia abajo) y es la relación de dispersión de electrones sin espín donde se ignora la interacción electrón-electrón. Si es fijo, se puede utilizar para calcular la energía total del sistema en función de su polarización . Si la energía total más baja se encuentra para , el sistema prefiere permanecer paramagnético pero para valores mayores de , ocurren estados fundamentales polarizados . Se puede demostrar que para ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }/N}$ ${\displaystyle N_{\downarrow }/N}$ ${\displaystyle \epsilon (k)}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }+N_{\downarrow }}$ ${\displaystyle E_{\uparrow }(k),E_{\downarrow }(k)}$ ${\displaystyle P=(N_{\uparrow }-N_{\downarrow })/N}$ ${\displaystyle P=0}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle ID(E_{\rm {F}})>1}$

El estado pasará espontáneamente a uno polarizado. Este es el criterio de Stoner, expresado en términos de la densidad de estados ^{[nota 1]} en la energía de Fermi . ${\displaystyle P=0}$ ${\displaystyle P=0}$ ${\displaystyle D(E_{\rm {F}})}$

Un estado distinto de cero puede ser favorecido incluso antes de que se cumpla el criterio de Stoner. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P=0}$

Relación con el modelo de Hubbard

El modelo de Stoner se puede obtener a partir del modelo de Hubbard aplicando la aproximación de campo medio . Los operadores de densidad de partículas se escriben como su valor medio más la fluctuación y se ignora el producto de las fluctuaciones de espín ascendente y descendente. Obtenemos ^{[nota 1]} ${\displaystyle \langle n_{i}\rangle }$ ${\displaystyle n_{i}-\langle n_{i}\rangle }$

${\displaystyle H=U\sum _{i}[n_{i,\uparrow }\langle n_{i,\downarrow }\rangle +n_{i,\downarrow }\langle n_{i,\uparrow }\rangle -\langle n_{i,\uparrow }\rangle \langle n_{i,\downarrow }\rangle ]-t\sum _{\langle i,j\rangle ,\sigma }(c_{i,\sigma }^{\dagger }c_{j,\sigma }+h.c).}$

Con el tercer término incluido, que fue omitido en la definición anterior, llegamos a la forma más conocida del criterio de Stoner.

${\displaystyle D(E_{\rm {F}})U>1.}$

Notas

1. Teniendo en mente un modelo de red, es el número de sitios de red y es el número de electrones de espín ascendente en todo el sistema. La densidad de estados tiene las unidades de energía inversa. En una red finita, se reemplaza por niveles discretos y luego . ${\textstyle N}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }}$ ${\displaystyle \epsilon (k)}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ ${\displaystyle D(E)=\sum _{i}\delta (E-\epsilon _{i})}$

Referencias

• Stephen Blundell , Magnetismo en materia condensada (Oxford Master Series en Física).
• Teodorescu, CM; Lungu, GA (noviembre de 2008). "Ferromagnetismo de banda en sistemas de dimensionalidad variable". Journal of Optoelectronics and Advanced Materials . 10 (11): 3058–3068 . Consultado el 24 de mayo de 2014 .
• Stoner, Edmund Clifton (abril de 1938). "Ferromagnetismo electrónico colectivo". Proc. R. Soc. Lond. A . 165 (922): 372–414. Bibcode :1938RSPSA.165..372S. doi :10.1098/rspa.1938.0066.