Modelo de vendedor de periódicos

Modelo matemático para ayudar a los niveles de inventario

El modelo del vendedor de periódicos (o repartidor de periódicos o de un solo período ^[1] o recuperable ) es un modelo matemático en gestión de operaciones y economía aplicada que se utiliza para determinar los niveles óptimos de inventario . Se caracteriza (normalmente) por precios fijos y demanda incierta para un producto perecedero. Si el nivel de inventario es , cada unidad de demanda por encima se pierde en ventas potenciales. Este modelo también se conoce como el problema del vendedor de periódicos o problema del repartidor de periódicos por analogía con la situación a la que se enfrenta un vendedor de periódicos que debe decidir cuántos ejemplares del periódico del día almacenar ante una demanda incierta y sabiendo que los ejemplares no vendidos no tendrán valor al final del día. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Historia

Boceto de 1902 de un hombre comprando periódicos a un vendedor de periódicos en Nueva York

El problema matemático parece datar de 1888 ^[2] , cuando Edgeworth utilizó el teorema del límite central para determinar las reservas de efectivo óptimas para satisfacer los retiros aleatorios de los depositantes. ^[3] Según Chen, Cheng, Choi y Wang (2016), el término "vendedor de periódicos" se mencionó por primera vez en un ejemplo del libro de Morse y Kimball (1951). ^[4] El problema se denominó "problema del árbol de Navidad" y "problema del vendedor de periódicos" en los años 1960 y 1970, y a partir de los años 1980 se empezó a utilizar un vocabulario neutral en cuanto al género como "periodista". Según Evan Porteus, Matt Sobel acuñó el término "problema del vendedor de periódicos". ^[5]

La formulación moderna se relaciona con un artículo en Econometrica de Kenneth Arrow , T. Harris y Jacob Marshak . ^[6]

Las investigaciones más recientes sobre el clásico problema del vendedor de periódicos se centraron en particular en los aspectos conductuales: al intentar resolver el problema en contextos reales y desordenados, ¿en qué medida los tomadores de decisiones se desvían sistemáticamente del óptimo? La investigación experimental y empírica ha demostrado que los tomadores de decisiones tienden a estar sesgados a realizar pedidos demasiado cerca de la demanda esperada (efecto de atracción hacia el centro ^[7] ) y demasiado cerca de la realización del período anterior (persecución de la demanda ^[8] ).

Descripción general

Este modelo también puede aplicarse a los sistemas de revisión periódica. ^[9]

Suposiciones

1. Los productos son separables
2. La planificación se realiza para un único período
3. La demanda es aleatoria
4. Las entregas se realizan con antelación a la demanda.
5. Los costos de exceso o defecto son lineales

Función de beneficio y fórmula del fractil crítico

La función de beneficio estándar del vendedor de periódicos es

${\displaystyle \operatorname {E} [{\text{profit}}]=\operatorname {E} \left[p\min(q,D)\right]-cq}$

donde es una variable aleatoria con distribución de probabilidad que representa la demanda, cada unidad se vende por un precio y se compra por un precio , es el número de unidades almacenadas y es el operador de expectativa . La solución a la cantidad óptima de existencias del vendedor de periódicos que maximiza la ganancia esperada es: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle E}$

Fórmula crítica del fractil

${\displaystyle q=F^{-1}\left({\frac {p-c}{p}}\right)}$

donde denota la función de distribución acumulativa inversa generalizada de . ${\displaystyle F^{-1}}$ ${\displaystyle D}$

Intuitivamente, esta relación, denominada fractil crítico , equilibra el costo de tener un inventario insuficiente (un valor de venta perdido ) y los costos totales de tener un inventario excesivo o insuficiente (donde el costo de tener un inventario excesivo es el costo del inventario, o por lo tanto el costo total es simplemente ). ${\displaystyle (p-c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle p}$

La fórmula fractil crítica se conoce como regla de Littlewood en la literatura sobre gestión de rendimiento .

Ejemplos numéricos

En los siguientes casos, supongamos que el precio minorista, , es de $7 por unidad y el precio de compra es de $5 por unidad. Esto da un fractil crítico de ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\frac {p-c}{p}}={\frac {7-5}{7}}={\frac {2}{7}}}$

Distribución uniforme

Sea la demanda, , sigue una distribución uniforme (continua) entre y . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{\min }=50}$ ${\displaystyle D_{\max }=80}$

${\displaystyle q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=F^{-1}\left(0.285\right)=D_{\min }+(D_{\max }-D_{\min })\cdot 0.285=58.55\approx 59.}$

Por lo tanto, el nivel de inventario óptimo es de aproximadamente 59 unidades.

Distribución normal

Sea la demanda, , sigue una distribución normal con una media, , demanda de 50 y una desviación estándar , , de 20. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=\mu +\sigma Z^{-1}\left(0.285\right)=50+20(-0.56595)=38.68\approx 39.}$

Por lo tanto, el nivel de inventario óptimo es de aproximadamente 39 unidades.

Distribución lognormal

Sea la demanda, , sigue una distribución lognormal con una demanda media de 50, , y una desviación estándar , , de 0,2. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=\mu e^{Z^{-1}\left(0.285\right)\sigma }=50e^{\left(0.2\cdot (-0.56595)\right)}=44.64\approx 45.}$

Por lo tanto, el nivel de inventario óptimo es de aproximadamente 45 unidades.

Situación extrema

Si (es decir, el precio de venta al público es menor que el precio de compra), el numerador se vuelve negativo. En esta situación, la cantidad de compra óptima es cero para evitar una pérdida marginal. ${\displaystyle p<c}$

Derivación del nivel óptimo de inventario

Fórmula crítica del fractil

Para derivar la fórmula fractil crítica, comience con una condición en el evento : ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\min\{q,D\}}\right]}$ ${\displaystyle D\leq q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [\min\{q,D\}]=\operatorname {E} [\min\{q,D\}\mid D\leq q]\operatorname {P} (D\leq q)+\operatorname {E} [\min\{q,D\}\mid D>q]\operatorname {P} (D>q)\\[6pt]={}&\operatorname {E} [D\mid D\leq q]F(q)+\operatorname {E} [q\mid D>q][1-F(q)]=\operatorname {E} [D\mid D\leq q]F(q)+q[1-F(q)]\end{aligned}}}$

Ahora usa

${\displaystyle \operatorname {E} [D\mid D\leq q]={\frac {\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx}{\int \limits _{x\leq q}f(x)\,dx}},}$

donde . El denominador de esta expresión es , por lo que ahora podemos escribir: ${\displaystyle f(x)=F'(x)}$ ${\displaystyle F(q)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\min\{q,D\}]=\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+q[1-F(q)]}$

Entonces ${\displaystyle \operatorname {E} [{\text{profit}}]=p\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+pq[1-F(q)]-cq}$

Tome la derivada con respecto a : ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\operatorname {E} [{\text{profit}}]=pqf(q)+pq(-F'(q))+p[1-F(q)]-c=p[1-F(q)]-c}$

Ahora optimice: ${\displaystyle p\left[1-F(q^{*})\right]-c=0\Rightarrow 1-F(q^{*})={\frac {c}{p}}\Rightarrow F(q^{*})={\frac {p-c}{p}}\Rightarrow q^{*}=F^{-1}\left({\frac {p-c}{p}}\right)}$

Técnicamente, también deberíamos comprobar la convexidad: ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{2}}}\operatorname {E} [{\text{profit}}]=p[-F'(q)]}$

Como es monótona y no decreciente, esta segunda derivada siempre es no positiva, por lo que el punto crítico determinado anteriormente es un máximo global. ${\displaystyle F}$

Formulación alternativa

El problema anterior se plantea como uno de maximización de beneficios, aunque puede plantearse de forma ligeramente diferente, con el mismo resultado. Si la demanda D supera la cantidad proporcionada q, entonces un coste de oportunidad de representa una pérdida de ingresos no realizada debido a una escasez de inventario. Por otro lado, si , entonces (debido a que los artículos que se venden son perecederos), hay un coste excedente de . Este problema también puede plantearse como uno de minimización de la expectativa de la suma del coste de oportunidad y el coste excedente, teniendo en cuenta que solo se incurre en uno de estos para cualquier realización particular de . La derivación de esto es la siguiente: ${\displaystyle (D-q)(p-c)}$ ${\displaystyle D\leq q}$ ${\displaystyle (q-D)c}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [{\text{opportunity cost}}+{\text{overage cost}}]\\[6pt]={}&\operatorname {E} [{\text{overage cost}}\mid D\leq q]\operatorname {P} (D\leq q)+\operatorname {E} [{\text{opportunity cost}}\mid D>q]\operatorname {P} (D>q)\\[6pt]={}&\operatorname {E} [(q-D)c\mid D\leq q]F(q)+\operatorname {E} [(D-q)(p-c)\mid D>q][1-F(q)]\\[6pt]={}&c\operatorname {E} [q-D\mid D\leq q]F(q)+(p-c)\operatorname {E} [D-q\mid D>q][1-F(q)]\\[6pt]={}&cqF(q)-c\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+(p-c)[\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-q(1-F(q))]\\[6pt]={}&p\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-pq(1-F(q))-c\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx+cq(1-F(q))+cqF(q)-c\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx\\[6pt]={}&p\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-pq+pqF(q)+cq-c\operatorname {E} [D]\end{aligned}}}$

La derivada de esta expresión, con respecto a , es ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\operatorname {E} [{\text{opportunity cost}}+{\text{overage cost}}]=p(-qf(q))-p+pqF'(q)+pF(q)+c=pF(q)+c-p}$

Obviamente, esto es el negativo de la derivada obtenida anteriormente, y es una formulación de minimización en lugar de maximización, por lo que el punto crítico será el mismo.

Optimización del nivel de inventario basada en costos

Supongamos que el "vendedor de periódicos" es en realidad una pequeña empresa que desea producir bienes para un mercado incierto. En esta situación más general, la función de costos del vendedor de periódicos (empresa) se puede formular de la siguiente manera:

${\displaystyle K(q)=c_{f}+c_{v}(q-x)+p\operatorname {E} \left[\max(D-q,0)\right]+h\operatorname {E} \left[\max(q-D,0)\right]}$

donde los parámetros individuales son los siguientes:

• ${\displaystyle c_{f}}$– costo fijo. Este costo existe siempre cuando se inicia la producción de una serie. [$/producción]
• ${\displaystyle c_{v}}$– costo variable. Este tipo de costo expresa el costo de producción de un producto. [$/producto]
• ${\displaystyle q}$– la cantidad de producto en el inventario. La decisión de la política de control de inventario se refiere a la cantidad de producto en el inventario después de la decisión de producto. Este parámetro también incluye el inventario inicial. Si no se produce nada, esta cantidad es igual a la cantidad inicial, es decir, al inventario existente.
• ${\displaystyle x}$– nivel de inventario inicial. Suponemos que el proveedor posee productos en inventario al inicio de la demanda del período de entrega. ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle p}$– costo de penalización (o costo de pedido pendiente). Si hay menos materia prima en el inventario de la necesaria para satisfacer la demanda, este es el costo de penalización de los pedidos insatisfechos. [$/producto]
• ${\displaystyle D}$– una variable aleatoria con una función de distribución acumulativa que representa una demanda incierta del cliente. [unidad] ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle E[D]}$– valor esperado de la variable aleatoria . ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle h}$– costo de inventario y mantenimiento de existencias. [$ / producto]

En , la función de pérdida de primer orden captura la cantidad de escasez esperada; su complemento, , denota la cantidad esperada de producto en stock al final del período. ^[10] ${\displaystyle K(q)}$ ${\displaystyle E\left[\max(D-q,0)\right]}$ ${\displaystyle E\left[\max(q-D,0)\right]}$

Sobre la base de esta función de costes, la determinación del nivel óptimo de inventario es un problema de minimización. Por tanto, a largo plazo, la cantidad de producto final con un coste óptimo puede calcularse sobre la base de la siguiente relación: ^[1]

${\displaystyle q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {p-c_{v}}{p+h}}\right)}$

Véase también

• Tasa de llenado infinita para la pieza que se está produciendo: Cantidad de pedido económica  – Modelo de programación de producción
• Tasa de llenado constante de la pieza que se produce: Cantidad de producción económica  – Modelo en la gestión de inventarios
• La demanda varía con el tiempo: modelo de tamaño de lote dinámico  – Modelo matemático en economíaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Varios productos producidos en la misma máquina: Problema de programación económica de lotes  – Problema en gestión de operaciones y teoría de inventarios
• Punto de reorden  : nivel de inventario que activa la reposición
• Sistema de control de inventario  : garantizar el nivel correcto de existenciasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Modelo extendido de vendedor de periódicos  : modelo matemático para ayudar a los niveles de inventarioPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

1. William J. Stevenson, Gestión de operaciones. Décima edición, 2009; página 581
2. FY Edgeworth (1888). "La teoría matemática de la banca". Revista de la Royal Statistical Society . 51 (1): 113–127. JSTOR  2979084.
3. Guillermo Gallego (18 de enero de 2005). "IEOR 4000 Production Management Lecture 7" (PDF) . Universidad de Columbia . Consultado el 30 de mayo de 2012 .
4. RR Chen; TCE Cheng; TM Choi; Y. Wang (2016). "Nuevos avances en aplicaciones del modelo Newsvendor". Decision Sciences . 47 : 8–10. doi :10.1111/deci.12215.
5. Porteus, Evan L. (2008). "El problema del vendedor de periódicos". En Chhajed, Dilip; Lowe, Timothy J. (eds.). Building Intuition - Insights From Basic Operations Management Models and Principals . Springer. pág. 133.
6. KJ Arrow, T. Harris, Jacob Marshak, Política óptima de inventarios, Econometrica 1951
7. Schweitzer, ME; Cachon, GP (2000). "Sesgo de decisión en el problema del vendedor de periódicos con una distribución de demanda conocida: evidencia experimental". Management Science . 43 (3): 404–420. doi :10.1287/mnsc.46.3.404.12070.
8. Lau, N.; Bearden, JN (2013). "Revisión de la demanda de vendedores de periódicos". Management Science . 59 (5): 1245–1249. doi :10.1287/mnsc.1120.1617.
9. WH Hopp, ML Spearman, Física de fábricas, Waveland Press 2008
10. Axsäter, Sven (2015). Control de inventario (3.ª ed.). Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-15729-0.

Lectura adicional

• Ayhan, Hayriye, Dai, Jim, Foley, RD, Wu, Joe, 2004: Notas del vendedor de periódicos, ISyE 3232 Sistemas estocásticos de fabricación y servicio. [1]
• EJ Lodree: Un enfoque de optimización de simulación para el problema del vendedor de periódicos de dos productos
• P. Mileff, K. Nehez: Un modelo extendido de vendedor de periódicos para la producción en masa personalizada, AOM – Modelado avanzado y optimización. Revista electrónica internacional, volumen 8, número 2, págs. 169-186 (2006)
• P. Mileff, K. Nehez: Evaluación del nivel de servicio adecuado en un entorno de cadena de suministro cooperativa, MIM'07. Taller de la IFAC sobre modelado, gestión y control de la fabricación. Budapest, Hungría. Págs. 123-126. (2007)
• Tsan-Ming Choi (Ed.) Manual de problemas de vendedores de periódicos: modelos, extensiones y aplicaciones, en Springer's International Series in Operations Research and Management Science, 2012.