Modelo de apego impulsado por la mediación

Concepto de matemáticas

En la teoría de redes sin escala ( teoría matemática de redes o teoría de grafos ), un modelo de apego impulsado por la mediación (MDA) parece incorporar una regla de apego preferencial de manera tácita y no explícita. Según la regla MDA, un nuevo nodo primero elige al azar un nodo de la red existente y no se conecta con él, sino con uno de los vecinos también elegido al azar.

Barabasi y Albert en 1999 señalaron a través de su artículo fundamental ^[1] que (i) la mayoría de las redes naturales y creadas por el hombre no son estáticas, sino que crecen con el tiempo y (ii) los nuevos nodos no se conectan con uno ya conectado de forma aleatoria, sino que preferentemente en cuanto a sus grados. El último mecanismo se llama regla de vinculación preferencial (PA), que encarna el fenómeno de que los ricos se hacen más ricos en economía. En su primer modelo, conocido como modelo Barabási-Albert , Barabási y Albert (modelo BA) eligen

${\displaystyle \Pi (i)={\frac {k_{i}}{\sum _{j=1}k_{j}}}}$

donde, es la probabilidad de que el nuevo nodo elija un nodo de los nodos etiquetados de la red existente. Encarna directamente el mecanismo de que los ricos se hagan más ricos. ${\displaystyle \Pi (i)}$ ${\displaystyle i}$

Recientemente, Hassan et al. propuso un modelo de apego impulsado por la mediación que parece encarnar la regla de la AP, pero no directamente, sino disfrazado. ^[2] En el modelo MDA, un nodo entrante elige un nodo existente para conectarse eligiendo primero uno de los nodos existentes al azar, que se considera mediador. Luego, el nuevo nodo se conecta con uno de los vecinos del mediador, que también se elige al azar. Ahora la pregunta es: ¿Cuál es la probabilidad de que finalmente se elija un nodo ya existente para conectarlo con el nuevo nodo? Digamos que el nodo tiene grado y por tanto tiene vecinos. Considere que los vecinos de están etiquetados y tienen grados respectivamente. Se puede llegar al nodo desde cada uno de estos nodos con probabilidades inversas de sus respectivos grados, y es probable que cada uno de los nodos se seleccione al azar con una probabilidad de . Por tanto, la probabilidad del modelo MDA es: ${\displaystyle \Pi (i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1,2,\ldots ,k_{i}}$ ${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{k_{i}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle 1/N}$ ${\displaystyle \Pi (i)}$

${\displaystyle \Pi (i)={\frac {1}{N}}\left[{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{k_{k_{i}}}}\right]={\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{N}}.}$

Se puede reescribir como

${\displaystyle \Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}\cdot {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}},}$

donde el factor es la inversa de la media armónica (IHM) de grados de los vecinos del nodo . Una simulación numérica exhaustiva sugiere que, en el caso de valores pequeños, el valor IHM de cada nodo fluctúa tan violentamente que la media de los valores IHM en toda la red no tiene significado. Sin embargo, para valores grandes (especialmente aproximadamente mayores que 14), la distribución del valor IHM de toda la red se vuelve de tipo gaussiano sesgado hacia la izquierda y la media comienza a tener un significado que se convierte en un valor constante en el límite grande. En este límite se encuentra lo que es exactamente la regla PA. Implica que cuanto mayores sean los vínculos (grado) que tenga un nodo, mayores serán sus posibilidades de obtener más vínculos, ya que se puede llegar a ellos de una mayor cantidad de formas a través de mediadores, lo que esencialmente encarna la idea intuitiva de que los ricos se vuelven más ricos. Por lo tanto, se puede ver que la red MDA sigue la regla de la PA, pero disfrazada. Además, para los pequeños, el AMF ya no es válido, sino que la probabilidad de apego adquiere un carácter superpreferencial. ${\displaystyle {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi (i)\propto k_{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi (i)}$

La idea de la regla MDA se puede encontrar en el proceso de crecimiento de la red estocástica plana ponderada (WPSL) . Un nodo existente (el centro de cada bloque de WPSL se considera nodos y el borde común entre bloques como enlaces entre los nodos correspondientes) durante el proceso obtiene enlaces solo si uno de sus vecinos no es seleccionado por sí mismo. Implica que cuanto mayores sean los vínculos (o el grado) que tenga un nodo, mayores serán sus posibilidades de obtener más vínculos, ya que se puede llegar a ellos de un mayor número de formas. Básicamente, encarna la idea intuitiva del gobierno de la AP. Por lo tanto, el dual de WPSL es una red que se puede ver que sigue la regla de vinculación preferencial, pero disfrazada. De hecho, se encuentra que su distribución de grados exhibe una ley de potencia, como lo subrayan Barabasi y Albert como uno de los ingredientes esenciales. ^{[3] [4]}

Red de adjuntos impulsada por mediación de tamaño 256 nodos

Distribución de grados: Los dos factores de los que la media del IHM es significativa y de los que es independiente implican que se puede aplicar la aproximación de campo medio (MFA). Es decir, dentro de esta aproximación se puede reemplazar el verdadero valor IHM de cada nodo por su media, donde se introduce el factor de número de aristas con las que vienen los nuevos nodos para mayor conveniencia. La ecuación de velocidad a resolver entonces se vuelve exactamente igual a la del modelo BA y, por lo tanto, la red que surge siguiendo la regla MDA también es de naturaleza libre de escala . La única diferencia es que el exponente depende de dónde, como en el modelo BA, independiente de . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \beta /m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma ={{1} \over {\beta (m)}}+1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma =3}$ ${\displaystyle m}$

Gráficos de distribución de grados para el modelo MDA. Las gráficas distintas son para los nodos entrantes que vienen con bordes m  = 1, m  = 15 y m  = 100. En el recuadro mostramos la variación en el exponente de la distribución de grados en función de  m .

Probabilidad de persistencia del liderazgo

En una red en crecimiento no todos los nodos son igualmente importantes. El alcance de su importancia se mide por el valor de su título . Los nodos que están conectados a un número inusualmente grande de otros nodos, es decir, nodos con un valor excepcionalmente alto , se denominan hubs. Son especiales porque su existencia hace que la distancia media, medida en unidades del número de enlaces, entre nodos sea increíblemente pequeña, desempeñando así un papel clave en la difusión de rumores, opiniones, enfermedades, virus informáticos, etc. ^[5] Por lo tanto, es importante conocer las propiedades del hub más grande, al que consideramos líder. Como en la sociedad, el liderazgo en una red en crecimiento no es permanente. Es decir, una vez que un nodo se convierte en líder, no significa que seguirá siendo líder ad infinitum . Una pregunta interesante es: ¿cuánto tiempo conserva el líder esta propiedad de liderazgo a medida que evoluciona la red? Para encontrar una respuesta a esta pregunta, definimos la probabilidad de persistencia del liderazgo de que un líder conserve su liderazgo al menos hasta cierto punto . La probabilidad de persistencia ha sido de interés en muchos sistemas diferentes, desde dinámicas cada vez más gruesas hasta interfaces fluctuantes o cadenas de polímeros. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

Los dos gráficos en la parte superior revelan el comportamiento de la ley de potencias de la probabilidad de persistencia del liderazgo. Para apreciar el papel de m damos la probabilidad de persistencia del liderazgo para dos valores (m=1 y m=100) en el mismo gráfico: (a) redes BA y (b) redes MDA. Los dos gráficos en la parte inferior son para el exponente de persistencia en función de m en (c) redes BA y (d) redes MDA.

Sin embargo, la idea básica de la regla MDA no es completamente nueva, ya que ésta o modelos similares se pueden encontrar en algunos trabajos anteriores, aunque su enfoque, análisis posterior y resultados son diferentes a los nuestros. Por ejemplo, Saramaki y Kaski presentaron un modelo basado en paseos aleatorios. ^[6] Otro modelo propuesto por Boccaletti et al. Puede parecer similar al nuestro, pero difiere notablemente si lo miramos más de cerca. ^[7] Recientemente, Yang {\it et al.} también dio una forma y recurrió a la aproximación de campo medio. ^[8] Sin embargo, la naturaleza de sus expresiones es significativamente diferente de la estudiada por Hassan et al. . Otro modelo estrechamente relacionado es el modelo de red en crecimiento con redirección (GNR) presentado por Gabel, Krapivsky y Redner, donde en cada paso de tiempo un nuevo nodo se conecta a un nodo objetivo elegido aleatoriamente con probabilidad o al padre del objetivo con probabilidad. . ^[9] El modelo GNR puede parecer similar al modelo MDA. Sin embargo, a diferencia del modelo GNR, el modelo MDA es para redes no dirigidas, y que el nuevo enlace puede conectarse con cualquier vecino del mediador-padre o no. Una diferencia más es que, en el modelo MDA, un nuevo nodo puede unirse a la red existente con bordes y en el modelo GNR se considera solo un caso. ${\displaystyle \Pi (i)}$ ${\displaystyle 1-r}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=1}$

Referencias

1. Barabási, Albert-László; Albert, Réka (15 de octubre de 1999). "Aparición del escalamiento en redes aleatorias". Ciencia . 286 (5439): 509–512. arXiv : cond-mat/9910332 . Código Bib : 1999 Ciencia... 286.. 509B. doi : 10.1126/ciencia.286.5439.509. ISSN  0036-8075. PMID  10521342. S2CID  524106.
2. Hassan, Dr. Kamrul; Islam, Liana; Haque, Syed Arefinul (2017). "Distribución de títulos, distribución de tamaño de rango y persistencia del liderazgo en redes de apego impulsadas por la mediación". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 469 . Elsevier BV: 23–30. arXiv : 1411.3444 . Código Bib : 2017PhyA..469...23H. doi :10.1016/j.physa.2016.11.001. ISSN  0378-4371. S2CID  51976352.
3. Hassan, MK; Hassan, MZ; Pavel, NI (27 de septiembre de 2010). "Topología de red sin escala y multifractalidad en una red estocástica plana ponderada". Nueva Revista de Física . 12 (9): 093045. arXiv : 1008.4994 . Código Bib : 2010NJPh...12i3045H. doi : 10.1088/1367-2630/9/12/093045 . ISSN  1367-2630.
4. Hassan, MK; Hassan, MZ; Pavel, NI (1 de mayo de 2011). "Desorden del número de coordinación libre de escala y trastorno de tamaño multifractal en red estocástica plana ponderada". Revista de Física: Serie de conferencias . 297 (1). Publicación de IOP: 012010. arXiv : 1104.1831 . Código Bib :2011JPhCS.297a2010H. doi :10.1088/1742-6596/297/1/012010. ISSN  1742-6596. S2CID  119262569.
5. Pastor-Satorras, Romualdo; Vespignani, Alessandro (2 de abril de 2001). "Propagación de la epidemia en redes sin escala". Cartas de revisión física . 86 (14): 3200–3203. arXiv : cond-mat/0010317 . Código bibliográfico : 2001PhRvL..86.3200P. doi :10.1103/physrevlett.86.3200. hdl : 2117/126209 . ISSN  0031-9007. PMID  11290142. S2CID  16298768.
6. Saramäki, Jari; Kaski, Kimmo (2004). "Redes sin escala generadas por caminantes aleatorios". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 341 : 80–86. arXiv : cond-mat/0404088 . Código Bib : 2004PhyA..341...80S. doi :10.1016/j.physa.2004.04.110. ISSN  0378-4371. S2CID  119023363.
7. Boccaletti, S.; Hwang, D.-U.; Latora, V. (2007). "Crecimiento de redes jerárquicas sin escala mediante procesos no jerárquicos". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 17 (7). World Scientific Pub Co Pte Lt: 2447–2452. Código Bib : 2007IJBC...17.2447B. doi :10.1142/s0218127407018518. ISSN  0218-1274.
8. Yang, Xu-Hua; Lou, Shun-Li; Chen, Guang; Chen, Sheng-Yong; Huang, Wei (2013). "Redes sin escala mediante la conexión a vecinos aleatorios". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 392 (17). Elsevier BV: 3531–3536. Código Bib : 2013PhyA..392.3531Y. doi :10.1016/j.physa.2013.03.043. ISSN  0378-4371.
9. Krapivsky, PL; Redner, S. (24 de mayo de 2001). "Organización de redes aleatorias en crecimiento". Revisión física E. 63 (6). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 066123. arXiv : cond-mat/0011094 . Código bibliográfico : 2001PhRvE..63f6123K. doi :10.1103/physreve.63.066123. ISSN  1063-651X. PMID  11415189. S2CID  16077521.