Modelo Vicsek

El modelo de Vicsek es un modelo matemático utilizado para describir la materia activa. Una de las motivaciones del estudio de la materia activa por parte de los físicos es la rica fenomenología asociada a este campo. El movimiento colectivo y el enjambre se encuentran entre los fenómenos más estudiados. Entre la gran cantidad de modelos que se han desarrollado para captar dicho comportamiento a partir de una descripción microscópica, el más famoso es el modelo introducido por Tamás Vicsek et al. en 1995. ^[1]

Los físicos tienen un gran interés en este modelo, ya que es mínimo y describe una especie de universalidad . Consiste en partículas puntuales autopropulsadas que evolucionan a velocidad constante y alinean su velocidad con la de sus vecinas en presencia de ruido. Un modelo de este tipo muestra un movimiento colectivo con una alta densidad de partículas o con poco ruido en la alineación.

Modelo (descripción matemática)

Como este modelo pretende ser mínimo, supone que la agrupación se debe a la combinación de cualquier tipo de autopropulsión y de alineación efectiva. Dado que las velocidades de cada partícula son constantes, el momento neto del sistema no se conserva durante las colisiones.

Un individuo se describe por su posición y el ángulo que define la dirección de su velocidad en el tiempo . La evolución temporal discreta de una partícula se establece mediante dos ecuaciones: $i$ $\mathbf {r} _{i}(t)$ $\Theta _{i}(t)$ $t$

En cada paso de tiempo , cada agente se alinea con sus vecinos dentro de una distancia determinada con una incertidumbre debido a un ruido : $\Delta t$ $r$ $\eta _{i}(t)$
- $\Theta _{i}(t+\Delta t)=\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}+\eta _{i}(t)$
La partícula luego se mueve a velocidad constante en la nueva dirección: $v$
- $\mathbf {r} _{i}(t+\Delta t)=\mathbf {r} _{i}(t)+v\Delta t{\begin{pmatrix}\cos \Theta _{i}(t)\\\sin \Theta _{i}(t)\end{pmatrix}}$

En estas ecuaciones, denota la dirección promedio de las velocidades de las partículas (incluida la partícula ) dentro de un círculo de radio que rodea a la partícula . La velocidad normalizada promedio actúa como el parámetro de orden para este sistema y está dada por . $\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}$ $i$ $r$ $i$ $v_{a}={\frac {1}{Nv}}|\sum _{i=1}^{N}v_{i}|$

El modelo completo está controlado por tres parámetros: la densidad de partículas, la amplitud del ruido en la alineación y la relación entre la distancia recorrida y el rango de interacción . A partir de estas dos sencillas reglas de iteración, se han elaborado varias teorías continuas ^[2], como la teoría de Toner Tu ^[3] , que describe el sistema a nivel hidrodinámico. Se ha desarrollado una teoría cinética similar a la de Enskog, que es válida a cualquier densidad de partículas. ^[4] Esta teoría describe cuantitativamente la formación de ondas de densidad pronunciadas, también llamadas ondas de invasión, cerca de la transición al movimiento colectivo. ^[5] $v\Delta t$ $r$

Fenomenología

Este modelo muestra una transición de fase ^[6] de un movimiento desordenado a un movimiento ordenado a gran escala. Con mucho ruido o baja densidad, las partículas no están alineadas en promedio y pueden describirse como un gas desordenado. Con poco ruido y gran densidad, las partículas están alineadas globalmente y se mueven en la misma dirección ( movimiento colectivo ). Este estado se interpreta como un líquido ordenado. La transición entre estas dos fases no es continua, de hecho, el diagrama de fases del sistema exhibe una transición de fase de primer orden con una separación de microfases. En la región de coexistencia, surgen bandas de líquido de tamaño finito ^[7] en un entorno de gas y se mueven a lo largo de su dirección transversal. Recientemente, se ha descubierto una nueva fase: una fase de mar cruzado polar ordenada de ondas de densidad con un ángulo de cruce seleccionado inherentemente. ^[8] Esta organización espontánea de partículas personifica el movimiento colectivo .

Extensiones

Desde su aparición en 1995, este modelo ha sido muy popular en la comunidad de físicos; muchos científicos han trabajado en él y lo han ampliado. Por ejemplo, se pueden extraer varias clases de universalidad a partir de argumentos de simetría simples relativos al movimiento de las partículas y su alineación. ^[9]

Además, en sistemas reales, se pueden incluir muchos parámetros para dar una descripción más realista, por ejemplo, la atracción y repulsión entre agentes (partículas de tamaño finito), la quimiotaxis (sistemas biológicos), la memoria, las partículas no idénticas, el líquido circundante.

Se ha desarrollado una teoría más simple, el modelo de Ising activo, ^[10] para facilitar el análisis del modelo de Vicsek.

Referencias

^ Vicsek, Tamás; Czirók, András; Ben Jacob, Eshel; Cohen, Inón; Shochet, Ofer (7 de agosto de 1995). "Nuevo tipo de transición de fase en un sistema de partículas autoimpulsadas". Cartas de revisión física . 75 (6): 1226-1229. arXiv : cond-mat/0611743 . Código bibliográfico : 1995PhRvL..75.1226V. doi : 10.1103/PhysRevLett.75.1226. PMID 10060237. S2CID 15918052.
^ Bertin, Eric; Droz, Michel; Grégoire, Guillaume (2006-08-02). "Boltzmann y descripción hidrodinámica para partículas autopropulsadas". Physical Review E . 74 (2): 022101. arXiv : cond-mat/0601038 . Bibcode :2006PhRvE..74b2101B. doi :10.1103/PhysRevE.74.022101. PMID 17025488. S2CID 19658705.
^ Toner, John; Tu, Yuhai (4 de diciembre de 1995). "Orden de largo alcance en un modelo $\mathrm{XY}$ dinámico bidimensional: cómo vuelan juntos los pájaros". Physical Review Letters . 75 (23): 4326–4329. Bibcode :1995PhRvL..75.4326T. doi :10.1103/PhysRevLett.75.4326. PMID 10059876.
^ Ihle, Thomas (16 de marzo de 2011). "Teoría cinética del flocado: Derivación de ecuaciones hidrodinámicas". Physical Review E . 83 (3): 030901. arXiv : 1006.1825 . Código Bibliográfico :2011PhRvE..83c0901I. doi : 10.1103/PhysRevE.83.030901 . PMID 21517447.
^ Ihle, Thomas (18 de octubre de 2013). "Transición de fase de primer orden inducida por ondas de invasión en sistemas de partículas activas". Physical Review E . 88 (4): 040303. arXiv : 1304.0149 . Código Bibliográfico :2013PhRvE..88d0303I. doi :10.1103/PhysRevE.88.040303. PMID 24229097. S2CID 14951536.
^ Grégoire, Guillaume; Chaté, Hugues (15 de enero de 2004). "Inicio del movimiento colectivo y cohesivo". Physical Review Letters . 92 (2): 025702. arXiv : cond-mat/0401208 . Código Bibliográfico :2004PhRvL..92b5702G. doi :10.1103/PhysRevLett.92.025702. PMID 14753946. S2CID 37159324.
^ Solon, Alexandre P.; Chaté, Hugues; Tailleur, Julien (12 de febrero de 2015). "De la separación de fases a la de microfases en modelos de flocado: el papel esencial de las fluctuaciones de no equilibrio". Physical Review Letters . 114 (6): 068101. arXiv : 1406.6088 . Bibcode :2015PhRvL.114f8101S. doi :10.1103/PhysRevLett.114.068101. PMID 25723246. S2CID 43186543.
^ Kürsten, Rüdiger; Ihle, Thomas (30 de octubre de 2020). "La materia activa seca exhibe una fase autoorganizada a través del mar". Physical Review Letters . 125 (18): 188003. arXiv : 2002.03198 . Código Bibliográfico :2020PhRvL.125r8003K. doi :10.1103/PhysRevLett.125.188003. PMID 33196272. S2CID 211069694.
^ Chaté, H.; Ginelli, F.; Grégoire, G.; Peruani, F.; Raynaud, F. (11 de julio de 2008). "Modelado del movimiento colectivo: variaciones del modelo Vicsek" (PDF) . La revista física europea B. 64 (3–4): 451–456. Código Bib : 2008EPJB...64..451C. doi :10.1140/epjb/e2008-00275-9. ISSN 1434-6028. S2CID 49363896.
^ Solon, AP; Tailleur, J. (13 de agosto de 2013). "Revisitando la transición de flocado usando espines activos". Physical Review Letters . 111 (7): 078101. arXiv : 1303.4427 . Código Bibliográfico :2013PhRvL.111g8101S. doi :10.1103/PhysRevLett.111.078101. PMID 23992085.