Modelo de histéresis de Bouc-Wen

Ingeniería estructural

En ingeniería estructural , el modelo de histéresis de Bouc-Wen es un modelo histerético que se emplea normalmente para describir sistemas histeréticos no lineales . Fue introducido por Robert Bouc ^{[1] [2]} y ampliado por Yi-Kwei Wen, ^[3] quien demostró su versatilidad al producir una variedad de patrones histeréticos. Este modelo es capaz de capturar, en forma analítica, una gama de formas de ciclo histerético que coinciden con el comportamiento de una amplia clase de sistemas histeréticos. Debido a su versatilidad y manejabilidad matemática, el modelo de Bouc-Wen ha ganado popularidad. Se ha ampliado y aplicado a una amplia variedad de problemas de ingeniería, incluidos sistemas de múltiples grados de libertad (MDOF), edificios, marcos, respuesta bidireccional y torsional de sistemas histeréticos, continuos bidimensionales y tridimensionales, licuefacción del suelo y sistemas de aislamiento de base . El modelo Bouc-Wen, sus variantes y extensiones se han utilizado en el control estructural, en particular, en el modelado del comportamiento de amortiguadores magnetoreológicos, dispositivos de aislamiento de base para edificios y otros tipos de dispositivos de amortiguación . También se ha utilizado en el modelado y análisis de estructuras construidas de hormigón armado , acero , mampostería y madera.

Formulación del modelo

Consideremos la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad (sdl):

aquí, representa la masa, es el desplazamiento, el coeficiente de amortiguamiento viscoso lineal, la fuerza de restauración y la fuerza de excitación mientras que el punto sobre denota la derivada con respecto al tiempo. ${\displaystyle \textstyle m}$ ${\displaystyle \textstyle u(t)}$ ${\displaystyle \textstyle c}$ ${\displaystyle \textstyle F(t)}$ ${\displaystyle \textstyle f(t)}$

Según el modelo de Bouc-Wen, la fuerza restauradora se expresa como:

donde es la relación entre la rigidez post-fluencia y la rigidez pre-fluencia (elástica) , es la fuerza de fluencia, el desplazamiento de fluencia y un parámetro histerético no observable (generalmente llamado desplazamiento histerético ) que obedece a la siguiente ecuación diferencial no lineal con condición inicial cero ( ), y que tiene dimensiones de longitud: ${\displaystyle \textstyle a:={\frac {k_{f}}{k_{i}}}}$ ${\displaystyle \textstyle k_{f}}$ ${\displaystyle \textstyle k_{i}:={\frac {F_{y}}{u_{y}}}}$ ${\displaystyle \textstyle F_{y}}$ ${\displaystyle \textstyle u_{y}}$ ${\displaystyle \textstyle z(t)}$ ${\displaystyle \textstyle z(0)=0}$

o simplemente como:

donde denota la función signum , y , , y son cantidades adimensionales que controlan el comportamiento del modelo ( recupera la histéresis elastoplástica). Téngase en cuenta que en el artículo original de Wen (1976), ^[3] se llama , y se llama . Hoy en día la notación varía de un artículo a otro y muy a menudo se intercambian los lugares de y . Aquí se implementa la notación utilizada por Song J. y Der Kiureghian A. (2006) ^[4] . La fuerza de restauración se puede descomponer en una parte elástica y una histéresis de la siguiente manera: ${\displaystyle \textstyle \operatorname {sign} }$ ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle \beta >0}$ ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle n=\infty }$ ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle F(t)}$

y

Por lo tanto, la fuerza restauradora puede visualizarse como dos resortes conectados en paralelo.

Para valores pequeños del parámetro exponencial positivo, la transición de la rama elástica a la rama postelástica es suave, mientras que para valores grandes esa transición es abrupta. Los parámetros , y controlan el tamaño y la forma del bucle histérico. Se ha encontrado ^[5] que los parámetros del modelo Bouc–Wen son funcionalmente redundantes. La mejor manera de eliminar esta redundancia es estableciendo . ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle A=1}$

Wen ^[3] asumió valores enteros para ; sin embargo, todos los valores positivos reales de son admisibles, es decir, . El parámetro es positivo por suposición, mientras que los valores admisibles para , es decir , se pueden derivar de un análisis termodinámico (Baber y Wen (1981) ^[6] ). ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle n>0}$ ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma \in [-\beta ,\beta ]}$

Ikhouane y Rodellar (2005) ^[7] brindan información sobre el comportamiento del modelo Bouc-Wen y proporcionan evidencia de que la respuesta del modelo Bouc-Wen bajo una entrada periódica es asintóticamente periódica.

Definiciones

A continuación se definen algunos términos:

• Suavizado : la pendiente del bucle de histéresis disminuye con el desplazamiento
• Endurecimiento : La pendiente del bucle de histéresis aumenta con el desplazamiento.
• Bucles de histéresis pinzados : Bucles más delgados en el medio que en los extremos. El pinzamiento es una pérdida repentina de rigidez, causada principalmente por el daño y la interacción de los componentes estructurales bajo una gran deformación. Es causada por el cierre (o apertura) de grietas y la fluencia del refuerzo de compresión antes de cerrar las grietas en elementos de hormigón armado, deslizamiento en juntas atornilladas (en construcciones de acero) y aflojamiento y deslizamiento de las juntas causado por cargas cíclicas previas en estructuras de madera con sujetadores de tipo pasador (por ejemplo, clavos y pernos).
• Degradación de la rigidez : pérdida progresiva de rigidez en cada ciclo de carga.
• Degradación de la resistencia : Degradación de la resistencia cuando se aplica una carga cíclica al mismo nivel de desplazamiento. El término "degradación de la resistencia" es un tanto engañoso, ya que la degradación de la resistencia solo se puede modelar si el desplazamiento es la función de entrada.

Energía histéresis absorbida

La energía histerética absorbida representa la energía disipada por el sistema histerético y se cuantifica como el área de la fuerza histerética bajo el desplazamiento total; por lo tanto, la energía histerética absorbida (por unidad de masa ) se puede cuantificar como

eso es,

Aquí está la frecuencia pseudonatural al cuadrado del sistema no lineal; las unidades de esta energía son . ${\displaystyle \textstyle \omega ^{2}:={\frac {k_{i}}{m}}}$ ${\displaystyle \textstyle J/kg}$

La disipación de energía es una buena medida del daño acumulado bajo cambios de tensión; refleja el historial de carga y es paralela al proceso de evolución del daño. En el modelo Bouc–Wen–Baber–Noori, esta energía se utiliza para cuantificar la degradación del sistema.

Modificaciones al modelo original de Bouc-Wen

Modelo Bouc-Wen-Baber-Noori

^{Baber y Wen (1981) [6]} y Baber y Noori (1985, 1986) sugirieron una modificación importante del modelo original de Bouc-Wen . ^{[8] [9]}

Esta modificación incluyó efectos de degradación de resistencia, rigidez y pellizco, mediante funciones de degradación adecuadas:

donde los parámetros , y están asociados (respectivamente) con los efectos de degradación por resistencia, rigidez y pinzamiento. Los , y se definen como funciones lineales de la energía histéresis absorbida : ${\displaystyle \textstyle \nu (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \textstyle \eta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \textstyle h(z)}$ ${\displaystyle \textstyle \nu (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \textstyle A(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \textstyle \eta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \textstyle \varepsilon }$

La función de pinzamiento se especifica como: ${\displaystyle \textstyle h(z)}$

dónde:

y es el valor último de , dado por ${\displaystyle \textstyle z_{u}}$ ${\displaystyle \textstyle z}$

Observe que los nuevos parámetros incluidos en el modelo son: , , , , , , , , y , donde , p, q , y son los parámetros de pinzamiento. Cuando , o no se incluye degradación de la resistencia, degradación de la rigidez o efecto de pinzamiento en el modelo. ${\displaystyle \textstyle \delta _{\nu }>0}$ ${\displaystyle \textstyle \delta _{A}>0}$ ${\displaystyle \textstyle \delta _{\eta }>0}$ ${\displaystyle \textstyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \textstyle A_{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \eta _{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \delta _{\psi }}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda }$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle \varsigma }$ ${\displaystyle \textstyle \varsigma }$ ${\displaystyle \textstyle \psi }$ ${\displaystyle \textstyle \delta }$ ${\displaystyle \textstyle \lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \delta _{\nu }=0}$ ${\displaystyle \textstyle \delta _{\eta }=0}$ ${\displaystyle \textstyle h(z)=1}$

Foliente (1993), ^[10] en colaboración con MP Singh y M. Noori, y posteriormente Heine (2001) ^[11] modificaron ligeramente la función de pinzamiento para modelar sistemas de holgura. Un ejemplo de un sistema de holgura es una estructura de madera donde el desplazamiento se produce con una rigidez aparentemente nula, ya que el perno de la estructura se presiona contra la madera.

Generalización de dos grados de libertad

Consideremos un sistema de dos grados de libertad sometido a excitaciones biaxiales. En este caso, la interacción entre las fuerzas restauradoras puede cambiar considerablemente la respuesta estructural; por ejemplo, el daño sufrido por la excitación en una dirección puede debilitar la rigidez y/o la degradación de la resistencia en la otra dirección, y viceversa. La ecuación de movimiento que modela dicha interacción está dada por:

${\displaystyle M{\begin{bmatrix}{\ddot {u}}_{x}\\{\ddot {u}}_{y}\end{bmatrix}}+C{\begin{bmatrix}{\dot {u}}_{x}\\{\dot {u}}_{y}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}q_{x}\\q_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f_{x}\\f_{y}\end{bmatrix}}}$

donde y representan las matrices de masa y amortiguamiento, y son los desplazamientos, y son las excitaciones y y son las fuerzas de restauración que actúan en dos direcciones ortogonales (perpendiculares), que se dan por ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle q_{x}}$ ${\displaystyle q_{y}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{x}\\q_{y}\end{bmatrix}}=aK{\begin{bmatrix}u_{x}\\u_{y}\end{bmatrix}}+(1-a)K{\begin{bmatrix}z_{x}\\z_{y}\end{bmatrix}}}$

donde es la matriz de rigidez inicial, es la relación entre la rigidez post-fluencia y la rigidez pre-fluencia (elástica) y y representan los desplazamientos histeréticos. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z_{x}}$ ${\displaystyle z_{y}}$

Utilizando esta generalización de dos grados de libertad, Park et al. (1986) ^[12] representaron el comportamiento histerético del sistema mediante:

Este modelo es adecuado, por ejemplo, para reproducir el comportamiento geométricamente lineal y desacoplado de una columna de hormigón armado cargada biaxialmente . Los programas informáticos como ETABS y SAP2000 utilizan esta formulación para modelar aisladores de base .

Wang y Wen (2000) ^[13] intentaron extender el modelo de Park et al. (1986) ^[12] para incluir casos con diferente agudeza de "codo" (es decir, ). Sin embargo, al hacerlo, el modelo propuesto ya no era invariante rotacionalmente (isotrópico). Harvey y Gavin (2014) ^[14] propusieron una generalización alternativa del modelo de Park-Wen ^[12] que conservaba la isotropía y aún permitía , a saber: ${\displaystyle n\neq 2}$ ${\displaystyle n\neq 2}$

Téngase en cuenta que utilizando el cambio de variables: , , , , las ecuaciones Ec. 14 se reducen a la relación histéresis uniaxial Ec. 3 con , es decir, ${\displaystyle z_{x}=z\cos \theta }$ ${\displaystyle z_{y}=z\sin \theta }$ ${\displaystyle u_{x}=u\cos \theta }$ ${\displaystyle u_{y}=u\sin \theta }$ ${\displaystyle n=2}$

Dado que esta ecuación es válida para cualquier valor de , el desplazamiento de restauración histérico es isotrópico. ${\displaystyle \theta }$

Modificación de Wang y Wen

Wang y Wen (1998) ^[15] sugirieron la siguiente expresión para explicar la fuerza de restauración de pico asimétrica :

donde es un parámetro adicional, a determinar. ${\displaystyle \textstyle \phi }$

Histéresis asimétrica

Las curvas histéresis asimétricas aparecen debido a la asimetría de las propiedades mecánicas del elemento ensayado, de la geometría o de ambas. Song y Der Kiureghian (2006) ^[4] observaron que los bucles de histéresis a menudo se ven afectados no solo por los signos de la velocidad y el desplazamiento histérico sino también por el signo del desplazamiento , porque el comportamiento histérico de un elemento estructural en tensión puede ser diferente del de compresión. Por lo tanto, Song y Der Kiureghian (2006) ^[4] propusieron la siguiente función para modelar esas curvas asimétricas: ${\displaystyle {\dot {u}}(t)}$ ${\displaystyle z(t)}$ ${\displaystyle u(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad {\dot {z}}(t)&={\dot {u}}(t){\Big \{}A-{\big [}\beta _{1}\operatorname {sign} ({\dot {u}}(t)z(t))+\beta _{2}\operatorname {sign} (u(t){\dot {u}}(t))+\beta _{3}\operatorname {sign} (u(t)z(t))+\\&+\beta _{4}\operatorname {sign} ({\dot {u}}(t))+\beta _{5}\operatorname {sign} (z(t))+\beta _{6}\operatorname {sign} (u(t)){\big ]}|z(t)|^{n}{\Big \}}\end{aligned}}}$

donde , son seis parámetros que deben determinarse en el proceso de identificación. Sin embargo, según Ikhouane et al. (2008), ^[16] los coeficientes , y deben establecerse en cero. Además, según Aloisio et al. (2020), ^[17] aún no se han realizado investigaciones sobre los intervalos de admisibilidad de los parámetros a la luz del segundo principio de la termodinámica. ${\displaystyle \textstyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle i=1,2,\ldots ,6}$ ${\displaystyle \textstyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \beta _{3}}$ ${\displaystyle \textstyle \beta _{6}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$

Aloisio et al. (2020) ^[17] ampliaron la formulación presentada por Song y Der Kiureghian (2006) ^[4] para reproducir los fenómenos de pinzamiento y degradación. Incluyeron dos parámetros adicionales que conducen a trayectorias de carga pinzadas; también hicieron que los ocho coeficientes fueran funciones de la energía histéresis disipada para tener en cuenta la degradación de la resistencia y la rigidez. ${\displaystyle \textstyle \beta _{7}}$ ${\displaystyle \textstyle \beta _{8}}$ ${\displaystyle \textstyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Cálculo de la respuesta, basado en los historiales temporales de excitación

En experimentos controlados por desplazamiento , se conoce el historial temporal del desplazamiento y su derivada ; por lo tanto, el cálculo de la variable histéresis y la fuerza de restauración se realiza directamente utilizando las ecuaciones Ec. 2 y Ec. 3 . ${\displaystyle \textstyle u(t)}$ ${\displaystyle \textstyle {\dot {u}}(t)}$

En experimentos controlados por fuerza , las ecuaciones 1 , 2 y 4 se pueden transformar en forma de espacio de estados , utilizando el cambio de variables , , y como: ${\displaystyle \textstyle x_{1}(t)=u(t)}$ ${\displaystyle \textstyle {\dot {x}}_{1}(t)={\dot {u}}(t)=x_{2}(t)}$ ${\displaystyle \textstyle {\dot {x}}_{2}(t)={\ddot {u}}(t)}$ ${\displaystyle \textstyle x_{3}(t)=z(t)}$

y se resuelven utilizando, por ejemplo, el método predictor-corrector de Livermore, los métodos de Rosenbrock o el método de Runge-Kutta de 4.º/5.º orden . Este último método es más eficiente en términos de tiempo computacional; los otros son más lentos, pero proporcionan una respuesta más precisa.

La forma de espacio de estados del modelo Bouc–Wen–Baber–Noori viene dada por:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria rígida que se puede resolver, por ejemplo, utilizando la función ode15 de MATLAB .

Según Heine (2001), ^[11] el tiempo de cálculo para resolver el modelo y el ruido numérico se reducen en gran medida si tanto la fuerza como el desplazamiento son del mismo orden de magnitud; por ejemplo, las unidades kN y mm son buenas opciones.

Cálculo analítico de la respuesta histéresis

La histéresis producida por el modelo Bouc-Wen es independiente de la velocidad. La ecuación 4 se puede escribir como:

donde dentro de la función sirve solo como indicador de la dirección del movimiento. La integral indefinida de la ecuación 19 se puede expresar analíticamente en términos de la función hipergeométrica de Gauss . Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, se cumple la siguiente relación: ^[18] ${\displaystyle {\dot {u}}(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {sign} }$ ${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b,c;w)}$

donde, se supone constante para la transición (no necesariamente pequeña) en examen, y , son los valores iniciales del desplazamiento y el parámetro histéresis, respectivamente. La ecuación 20 se resuelve analíticamente para para valores específicos del parámetro exponencial , es decir, para y . ^[18] Para valores arbitrarios de , la ecuación 20 se puede resolver de manera eficiente utilizando, por ejemplo, métodos de tipo bisección, como el método de Brent . ^[18] ${\displaystyle q=\beta \operatorname {sign} (z(t){\dot {u}}(t))+\gamma }$ ${\displaystyle A=1}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n}$

Restricciones e identificación de parámetros

Los parámetros del modelo Bouc-Wen tienen los siguientes límites , , , , , , , . ${\displaystyle \textstyle a\in (0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle k_{i}>0}$ ${\displaystyle \textstyle k_{f}>0}$ ${\displaystyle \textstyle c>0}$ ${\displaystyle \textstyle A>0}$ ${\displaystyle \textstyle n>1}$ ${\displaystyle \textstyle \beta >0}$ ${\displaystyle \textstyle \gamma \in [-\beta ,\beta ]}$

Como se señaló anteriormente, Ma et al. (2004) ^[5] demostraron que los parámetros del modelo Bouc–Wen son funcionalmente redundantes; es decir, existen múltiples vectores de parámetros que producen una respuesta idéntica a partir de una excitación dada. La mejor manera de eliminar esta redundancia es establecer . ${\displaystyle \textstyle A=1}$

Constantinou y Adnane (1987) ^[19] sugirieron imponer la restricción para reducir el modelo a una formulación con propiedades bien definidas. ${\displaystyle \textstyle {\frac {A}{\beta +\gamma }}=1}$

Adoptando esas restricciones, los parámetros desconocidos se convierten en: , , , y . ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle a}$ ${\displaystyle \textstyle k_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle c}$

La determinación de los parámetros del modelo a partir de datos de entrada y salida experimentales se puede realizar mediante técnicas de identificación del sistema . Los procedimientos sugeridos en la literatura incluyen:

• Optimización basada en el método de mínimos cuadrados, (utilizando métodos de Gauss-Newton, algoritmos evolutivos, algoritmos genéticos, etc.); en este caso se minimiza la diferencia de error entre los historiales temporales o entre las transformadas de Fourier de tiempo corto de las señales.
• Filtro Kalman extendido , filtro Kalman sin aroma , filtros de partículas
• Evolución diferencial
• Algoritmos genéticos
• Optimización de enjambre de partículas
• Leyes adaptativas
• Métodos híbridos ^[20]

Estos algoritmos de ajuste de parámetros minimizan una función de pérdida que se basa en uno o varios de los siguientes criterios:

• Minimización del error entre el desplazamiento experimental y el desplazamiento calculado.
• Minimización del error entre la fuerza de restauración experimental y la fuerza de restauración calculada.
• Minimización del error entre la energía disipada experimental (estimada a partir del desplazamiento y la fuerza de restauración) y la energía disipada total calculada.

Una vez que se ha aplicado un método de identificación para ajustar los parámetros del modelo Bouc-Wen, el modelo resultante se considera una buena aproximación de la histéresis verdadera, cuando el error entre los datos experimentales y la salida del modelo es lo suficientemente pequeño (desde un punto de vista práctico).

Críticas

El modelo histérico de Bouc-Wen ha recibido algunas críticas por su capacidad para describir con precisión el fenómeno de la histéresis en los materiales. Por ejemplo:

• Thyagarajan e Iwan (1990) ^[21] encontraron que las predicciones de desplazamiento tienen menor calidad en comparación con las predicciones de velocidad y aceleración.

• Bažant (1978) ^[22] afirma que los modelos de clase Bouc-Wen no se alinean con los requisitos de la teoría clásica de plasticidad, como el postulado de Drucker. Charalampakis y Koumousis (2009) ^[23] proponen una modificación del modelo Bouc-Wen para eliminar la deriva de desplazamiento, la relajación de fuerza y ​​el no cierre de bucles histéricos cuando el material se somete a trayectorias cortas de descarga y recarga que resultan en una violación local del postulado de plasticidad de Drucker o Ilyushin.

• Casciati y Faravelli (1987) ^[24] y Thyagarajan e Iwan (1990) ^[21] observaron que los modelos de clase Bouc-Wen pueden generar una disipación de energía negativa durante el proceso de descarga y recarga sin inversión de carga.

Referencias

1. Bouc, R. (1967). "Vibración forzada de sistemas mecánicos con histéresis". Actas de la Cuarta Conferencia sobre Oscilación No Lineal . Praga, Checoslovaquia. pág. 315.
2. Bouc, R. (1971). "Modèle mathématique d'hystérésis: aplicación aux systèmes à un degré de liberté". Acústica (en francés). 24 : 16–25.
3. Wen, YK (1976). "Método para vibración aleatoria de sistemas histéricos". Journal of Engineering Mechanics . 102 (2). Sociedad Americana de Ingenieros Civiles : 249–263.
4. Song J. y Der Kiureghian A. (2006) Modelo generalizado de Bouc-Wen para histéresis altamente asimétrica. Journal of Engineering Mechanics. ASCE. Vol 132, No. 6, págs. 610–618
5. Ma F., Zhang H., Bockstedte A., Foliente GC y Paevere P. (2004). Análisis de parámetros del modelo diferencial de histéresis. Revista de mecánica aplicada ASME, 71, págs. 342-349
6. Baber TT y Wen YK (1981). Vibraciones aleatorias de sistemas degradantes histéricos. Journal of Engineering Mechanics. ASCE. 107(EM6), págs. 1069–1089
7. Ikhouane, F.; Rodellar, J. (2005). "Sobre el modelo histérico de Bouc–Wen". Dinámica no lineal . 42 : 63–78. doi :10.1007/s11071-005-0069-3. S2CID  120993731.
8. Baber TT y Noori MN (1985). Vibración aleatoria de sistemas de pinzamiento degradantes. Journal of Engineering Mechanics. ASCE. 111 (8) pág. 1010–1026.
9. Baber TT y Noori MN (1986). Modelado del comportamiento de histéresis general y aplicaciones de vibración aleatoria. Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design. 108 (4) págs. 411–420
10. GC Foliente (1993). Respuesta dinámica estocástica de sistemas estructurales de madera. Tesis doctoral. Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia. Blacksburg, Virginia.
11. CP Heine (2001). Respuesta simulada de juntas histéresis degradadas con comportamiento de holgura. Tesis doctoral. Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia. Blacksburg, Virginia. URL: http://hdl.handle.net/10919/28576/
12. Park YJ, Ang AHS y Wen YK (1986). Vibración aleatoria de sistemas histéricos bajo movimientos de tierra bidireccionales. Earthquake Engineering Structural Dynamics , 14, 543–557
13. Wang CH y Wen YK (2000). Evaluación de edificios de acero de baja altura anteriores a Northridge I: Modelado. Journal of Structural Engineering 126:1160–1168. doi:10.1061/(ASCE)0733-9445(2000)126:10(1160)
14. Harvey PS Jr. y Gavin HP (2014). Histéresis biaxial verdaderamente isotrópica con agudeza de codo arbitraria. Ingeniería sísmica y dinámica estructural 43, 2051–2057. doi:10.1002/eqe.2436
15. Wang CH y Wen YK (1998) Fiabilidad y redundancia de edificios de acero de baja altura construidos antes de Northridge bajo acción sísmica. Informe n.º UILU-ENG-99-2002, Univ. Illinois en Urbana-Champaign, Champaign, Ill.
16. Ihkouane F. y Pozo F. y Acho L. Discusión del modelo generalizado de Bouc-Wen para histéresis altamente asimétrica por Junho Song y Armen Der Kiureghian. Journal of Engineering Mechanics. ASCE. Mayo de 2008. págs. 438–439
17. Aloisio, Angelo; Alaggio, Rocco; Köhler, Jochen; Fragiacomo, Massimo (2020). "Extensión del modelado de histéresis de Bouc-Wen generalizado de uniones de madera y sistemas estructurales". Journal of Engineering Mechanics . 146 (3): 04020001. doi :10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0001722.
18. Charalampakis, AE; Koumousis, VK (2008). "Sobre la respuesta y la energía disipada del modelo histérico de Bouc-Wen". Revista de sonido y vibración . 309 (3–5): 887–895. Bibcode :2008JSV...309..887C. doi :10.1016/j.jsv.2007.07.080.
19. Constantinou MC y Adnane MA (1987). Dinámica de sistemas estructurales aislados de la base del suelo: evaluación de dos modelos para sistemas de fluencia. Informe para la NSAF: Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Drexel, Filadelfia, PA
20. Charalampakis, AE; Koumousis, VK (2008). "Identificación de sistemas histeréticos de Bouc-Wen mediante un algoritmo evolutivo híbrido". Journal of Sound and Vibration . 314 (3–5): 571–585. Bibcode :2008JSV...314..571C. doi :10.1016/j.jsv.2008.01.018.
21. Thyagarajan, R.; Iwan, W. (1990). "Características de desempeño de un modelo histerético ampliamente utilizado en dinámica estructural". Actas de la 4.ª Conferencia Nacional de EE. UU. sobre Ingeniería Sísmica . Oakland, CA: Earthquake Engineering Research Institute.
22. Bažant, ZP (1978). "Inelasticidad endocrónica y plasticidad incremental". Revista internacional de sólidos y estructuras . 14 (9): 691–714. doi :10.1016/0020-7683(78)90029-X.
23. Charalampakis, AE; Koumousis, VK (2009). "Un modelo de Bouc–Wen compatible con postulados de plasticidad". Journal of Sound and Vibration . 322 (4–5): 954–968. Bibcode :2009JSV...322..954C. doi :10.1016/j.jsv.2008.11.017.
24. Casciati, F.; Faravelli, L. (1987). FH Wittmann (ed.). "Linealización equivalente estocástica en marcos histeréticos 3-D". Actas de la 9.ª Conferencia internacional sobre mecánica estructural en tecnología de reactores . Róterdam, Países Bajos: AA Balkema.

Lectura adicional

• Ikhouane, Fayçal; Rodellar, José (2007). Sistemas con análisis de histéresis, identificación y control utilizando el modelo de Bouc-Wen . Chichester: John Wiley & Sons. ISBN 9780470513194.