modelo vicsek

El modelo Vicsek es un modelo matemático utilizado para describir la materia activa. Una motivación del estudio de la materia activa por parte de los físicos es la rica fenomenología asociada a este campo. El movimiento colectivo y el enjambre se encuentran entre los fenómenos más estudiados. Dentro de la gran cantidad de modelos que se han desarrollado para captar dicho comportamiento a partir de una descripción microscópica, el más famoso es el modelo introducido por Tamás Vicsek et al. en 1995. ^[1]

Los físicos tienen un gran interés en este modelo porque es mínimo y describe una especie de universalidad . Consiste en partículas puntuales autopropulsadas que evolucionan a velocidad constante y alinean su velocidad con la de sus vecinas en presencia de ruido. Un modelo de este tipo muestra un movimiento colectivo con una alta densidad de partículas o poco ruido en la alineación.

Modelo (descripción matemática)

Como este modelo pretende ser mínimo, supone que el flocado se debe a la combinación de cualquier tipo de autopropulsión y de alineación efectiva. Dado que las velocidades de cada partícula son constantes, el momento neto del sistema no se conserva durante las colisiones.

Un individuo se describe por su posición y el ángulo que define la dirección de su velocidad en el tiempo . La evolución en el tiempo discreto de una partícula está determinada por dos ecuaciones: $i$ $\mathbf {r} _{i}(t)$ $\Theta _{i}(t)$ $t$

En cada paso de tiempo , cada agente se alinea con sus vecinos dentro de una distancia determinada con una incertidumbre debida a un ruido : $\Delta t$ $r$ $\eta _{i}(t)$
- $\Theta _{i}(t+\Delta t)=\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}+\eta _{i}(t)$
Luego, la partícula se mueve a velocidad constante en la nueva dirección: $v$
- $\mathbf {r} _{i}(t+\Delta t)=\mathbf {r} _{i}(t)+v\Delta t{\begin{pmatrix}\cos \Theta _{i}(t)\\\sin \Theta _{i}(t)\end{pmatrix}}$

En estas ecuaciones, denota la dirección promedio de las velocidades de las partículas (incluida la partícula ) dentro de un círculo de radio que rodea la partícula . La velocidad promedio normalizada actúa como parámetro de orden para este sistema y está dada por . $\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}$ $i$ $r$ $i$ $v_{a}={\frac {1}{Nv}}|\sum _{i=1}^{N}v_{i}|$

Todo el modelo está controlado por tres parámetros: la densidad de las partículas, la amplitud del ruido en la alineación y la relación entre la distancia recorrida y el rango de interacción . A partir de estas dos simples reglas de iteración, se han elaborado varias teorías continuas ^[2] como la teoría Toner Tu ^[3] que describe el sistema a nivel hidrodinámico. Se ha desarrollado una teoría cinética similar a la de Enskog, que es válida para densidades de partículas arbitrarias. ^[4] Esta teoría describe cuantitativamente la formación de ondas de densidad pronunciadas, también llamadas ondas de invasión, cerca de la transición al movimiento colectivo. ^[5] $v\Delta t$ $r$

Fenomenología

Este modelo muestra una transición de fase ^[6] de un movimiento desordenado a un movimiento ordenado a gran escala. En caso de mucho ruido o baja densidad, las partículas en promedio no están alineadas y pueden describirse como un gas desordenado. Con poco ruido y gran densidad, las partículas están globalmente alineadas y se mueven en la misma dirección ( movimiento colectivo ). Este estado se interpreta como un líquido ordenado. La transición entre estas dos fases no es continua; de hecho, el diagrama de fases del sistema muestra una transición de fase de primer orden con una separación de microfases. En la región de coexistencia, bandas de líquido de tamaño finito ^[7] emergen en un ambiente gaseoso y se mueven a lo largo de su dirección transversal. Recientemente, se ha descubierto una nueva fase: una fase polar cruzada del mar de ondas de densidad con un ángulo de cruce inherentemente seleccionado. ^[8] Esta organización espontánea de partículas personifica el movimiento colectivo .

Extensiones

Desde su aparición en 1995, este modelo ha sido muy popular dentro de la comunidad física; muchos científicos han trabajado en él y lo han ampliado. Por ejemplo, se pueden extraer varias clases de universalidad a partir de argumentos simples de simetría relacionados con el movimiento de las partículas y su alineación. ^[9]

Además, en sistemas reales, se pueden incluir muchos parámetros para dar una descripción más realista, por ejemplo atracción y repulsión entre agentes (partículas de tamaño finito), quimiotaxis (sistemas biológicos), memoria, partículas no idénticas, el líquido circundante. .

Se ha desarrollado una teoría más simple, el modelo Active Ising, ^[10] para facilitar el análisis del modelo Vicsek.

Referencias

^ Vicsek, Tamás; Czirók, András; Ben Jacob, Eshel; Cohen, Inón; Shochet, Ofer (7 de agosto de 1995). "Nuevo tipo de transición de fase en un sistema de partículas autoimpulsadas". Cartas de revisión física . 75 (6): 1226-1229. arXiv : cond-mat/0611743 . Código bibliográfico : 1995PhRvL..75.1226V. doi : 10.1103/PhysRevLett.75.1226. PMID 10060237. S2CID 15918052.
^ Bertín, Eric; Droz, Michel; Grégoire, Guillaume (2 de agosto de 2006). "Boltzmann y descripción hidrodinámica de partículas autopropulsadas". Revisión física E. 74 (2): 022101. arXiv : cond-mat/0601038 . Código bibliográfico : 2006PhRvE..74b2101B. doi : 10.1103/PhysRevE.74.022101. PMID 17025488. S2CID 19658705.
^ Tóner, John; Tu, Yuhai (4 de diciembre de 1995). "Orden de largo alcance en un modelo $\mathrm{XY}$ dinámico bidimensional: cómo los pájaros vuelan juntos". Cartas de revisión física . 75 (23): 4326–4329. Código bibliográfico : 1995PhRvL..75.4326T. doi : 10.1103/PhysRevLett.75.4326. PMID 10059876.
^ Ihle, Thomas (16 de marzo de 2011). "Teoría cinética del flocado: Derivación de ecuaciones hidrodinámicas". Revisión física E. 83 (3): 030901. arXiv : 1006.1825 . Código bibliográfico : 2011PhRvE..83c0901I. doi : 10.1103/PhysRevE.83.030901 . PMID 21517447.
^ Ihle, Thomas (18 de octubre de 2013). "Transición de fase de primer orden inducida por ondas de invasión en sistemas de partículas activas". Revisión física E. 88 (4): 040303. arXiv : 1304.0149 . Código bibliográfico : 2013PhRvE..88d0303I. doi : 10.1103/PhysRevE.88.040303. PMID 24229097. S2CID 14951536.
^ Grégoire, Guillaume; Chaté, Hugues (15 de enero de 2004). "Inicio del movimiento colectivo y cohesivo". Cartas de revisión física . 92 (2): 025702. arXiv : cond-mat/0401208 . Código bibliográfico : 2004PhRvL..92b5702G. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.025702. PMID 14753946. S2CID 37159324.
^ Solón, Alexandre P.; Chaté, Hugues; Tailleur, Julien (12 de febrero de 2015). "De la separación de fases a microfases en modelos de flocado: el papel esencial de las fluctuaciones de desequilibrio". Cartas de revisión física . 114 (6): 068101. arXiv : 1406.6088 . Código bibliográfico : 2015PhRvL.114f8101S. doi : 10.1103/PhysRevLett.114.068101. PMID 25723246. S2CID 43186543.
^ Kürsten, Rüdiger; Ihle, Thomas (30 de octubre de 2020). "La materia activa seca exhibe una fase cruzada autoorganizada". Cartas de revisión física . 125 (18): 188003. arXiv : 2002.03198 . Código Bib : 2020PhRvL.125r8003K. doi :10.1103/PhysRevLett.125.188003. PMID 33196272. S2CID 211069694.
^ Chaté, H.; Ginelli, F.; Grégoire, G.; Peruani, F.; Raynaud, F. (11 de julio de 2008). "Modelado del movimiento colectivo: variaciones del modelo Vicsek" (PDF) . La revista física europea B. 64 (3–4): 451–456. Código Bib : 2008EPJB...64..451C. doi :10.1140/epjb/e2008-00275-9. ISSN 1434-6028. S2CID 49363896.
^ Solón, AP; Tailleur, J. (13 de agosto de 2013). "Revisando la transición de flocado mediante giros activos". Cartas de revisión física . 111 (7): 078101. arXiv : 1303.4427 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.111g8101S. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.078101. PMID 23992085.