Modelado de grano grueso

Tipo de modelo matemático simplificado

El modelado de grano grueso , los modelos de grano grueso , tienen como objetivo simular el comportamiento de sistemas complejos utilizando su representación de grano grueso (simplificada). Los modelos de grano grueso se utilizan ampliamente para el modelado molecular de biomoléculas ^{[1] [2]} en varios niveles de granularidad .

Se ha propuesto una amplia gama de modelos de grano grueso. Suelen dedicarse al modelado computacional de moléculas específicas: proteínas, ^{[1] [2]} ácidos nucleicos, ^{[3] [4]} membranas lipídicas, ^{[2] [5]} carbohidratos ^[6] o agua. ^[7] En estos modelos, las moléculas no están representadas por átomos individuales, sino por "pseudoátomos" que se aproximan a grupos de átomos, como residuos de aminoácidos completos . Al disminuir los grados de libertad, se pueden estudiar tiempos de simulación mucho más largos a expensas del detalle molecular. Los modelos de grano grueso han encontrado aplicaciones prácticas en simulaciones de dinámica molecular . ^[1] Otro caso de interés es la simplificación de un sistema de estados discretos dado, ya que muy a menudo son posibles descripciones del mismo sistema con diferentes niveles de detalle. ^{[8] [9]} Un ejemplo lo da la dinámica quimiomecánica de una máquina molecular, como la Kinesin . ^{[8] [10]}

El modelado de grano grueso tiene su origen en el trabajo de Michael Levitt y Ariel Warshel en los años 1970. ^{[11] [12] [13]} Los modelos de grano grueso se utilizan actualmente a menudo como componentes de protocolos de modelado multiescala en combinación con herramientas de reconstrucción ^[14] (desde representación de grano grueso hasta representación atomística) y modelos de resolución atomística. ^[1] Los modelos de resolución atomística por sí solos actualmente no son lo suficientemente eficientes para manejar sistemas de gran tamaño y escalas de tiempo de simulación. ^{[1] [2]}

La granulación gruesa y la granulación fina en la mecánica estadística abordan el tema de la entropía y, por tanto, la segunda ley de la termodinámica. Hay que tener en cuenta que el concepto de temperatura no se puede atribuir a una partícula arbitrariamente microscópica, ya que ésta no irradia térmicamente como un cuerpo macroscópico o "negro ". Sin embargo, se puede atribuir una entropía distinta de cero a un objeto con tan solo dos estados, como un " bit " (y nada más). Las entropías de los dos casos se denominan entropía térmica y entropía de von Neumann respectivamente. ^[15] También se distinguen mediante los términos de grano grueso y de grano fino, respectivamente. Esta última distinción está relacionada con el aspecto expuesto anteriormente y se detalla a continuación. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

El teorema de Liouville (a veces también llamado ecuación de Liouville )

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\Delta q\Delta p)=0}$

afirma que un volumen de espacio de fase (abarcado por y , aquí en una dimensión espacial) permanece constante en el transcurso del tiempo, sin importar dónde se mueva el punto contenido en . Esta es una consideración en la mecánica clásica. Para relacionar esta visión con la física macroscópica, se rodea cada punto , por ejemplo, con una esfera de cierto volumen fijo, un procedimiento llamado grano grueso que agrupa puntos o estados de comportamiento similar. La trayectoria de esta esfera en el espacio de fases cubre también otros puntos y, por tanto, crece su volumen en el espacio de fases. La entropía asociada con esta consideración, ya sea cero o no, se llama entropía de grano grueso o entropía térmica. Un gran número de estos sistemas, es decir, el que se está considerando junto con muchas copias, se denomina conjunto. Si estos sistemas no interactúan entre sí ni con ninguna otra cosa, y cada uno tiene la misma energía , el conjunto se llama conjunto microcanónico. Cada sistema réplica aparece con la misma probabilidad y no entra temperatura. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,p}$ ${\displaystyle \Delta q\Delta p}$ ${\displaystyle q,p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$

Ahora supongamos que definimos una densidad de probabilidad que describe el movimiento del punto con un elemento de espacio de fase . En el caso de equilibrio o movimiento estacionario, la ecuación de continuidad implica que la densidad de probabilidad es independiente del tiempo . Tomamos como distinto de cero sólo dentro del volumen del espacio de fase . Entonces se define la entropía por la relación ${\displaystyle \rho (q_{i},p_{i},t)}$ ${\displaystyle q_{i},p_{i}}$ ${\displaystyle \Delta q_{i}\Delta p_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \rho _{i}=\rho (q_{i},p_{i})}$ ${\displaystyle V_{\Gamma }}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=-\Sigma _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i},\;\;}$dónde ${\displaystyle \;\;\Sigma _{i}\rho _{i}=1.}$

Luego, maximizando una energía dada , es decir, uniendo la otra suma igual a cero mediante un multiplicador de Lagrange , se obtiene (como en el caso de una red de espines o con un bit en cada punto de la red) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \delta S=0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle V_{\Gamma }=e^{(\lambda +1)}={\frac {1}{\rho }}}$ ${\displaystyle \;\;\;}$y , ${\displaystyle \;\;\;}$ ${\displaystyle S=\ln V_{\Gamma }}$

el volumen de es proporcional al exponencial de S. Esta es nuevamente una consideración en la mecánica clásica. ${\displaystyle \Gamma }$

En mecánica cuántica el espacio de fases se convierte en un espacio de estados, y la densidad de probabilidad en un operador con un subespacio de estados de dimensión o número de estados especificado por un operador de proyección . Entonces la entropía es (obtenida como arriba) ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle N_{\Gamma }}$ ${\displaystyle P_{\Gamma }}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=-Tr\rho \ln \rho =\ln N_{\Gamma },}$

y se describe como entropía de grano fino o de von Neumann. Si , la entropía desaparece y se dice que el sistema está en estado puro. Aquí la exponencial de S es proporcional al número de estados. El conjunto microcanónico es nuevamente una gran cantidad de copias que no interactúan del sistema dado y la energía, etc., se convierten en promedios del conjunto. ${\displaystyle N_{\Gamma }=1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$

Consideremos ahora la interacción de un sistema dado con otro, o en terminología de conjunto, el sistema dado y la gran cantidad de réplicas, todas sumergidas en un gran baño de calor caracterizado por . Dado que los sistemas interactúan sólo a través del baño térmico, los sistemas individuales del conjunto pueden tener diferentes energías dependiendo del estado energético en el que se encuentren. Esta interacción se describe como entrelazamiento y el conjunto como conjunto canónico (el conjunto macrocanónico también permite el intercambio de partículas). ). ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle E_{i},E_{j},...}$ ${\displaystyle E_{i},E_{j},...}$

La interacción de los elementos del conjunto a través del baño térmico conduce a la temperatura , como mostramos ahora. ^[16] Considerando dos elementos con energías , la probabilidad de encontrarlos en el baño térmico es proporcional a , y ésta es proporcional a si consideramos el sistema binario como un sistema en el mismo baño térmico definido por la función . De ello se deduce que (la única forma de satisfacer la proporcionalidad), donde es una constante. La normalización implica entonces ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E_{i},E_{j}}$ ${\displaystyle \rho (E_{i})\rho (E_{j})}$ ${\displaystyle \rho (E_{i}+E_{j})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (E)\propto e^{-\mu E}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \rho (E_{i})={\frac {e^{-\mu E_{i}}}{\Sigma _{j}e^{-\mu E_{j}}}},\Sigma _{i}\rho (E_{i})=1.}$

Luego, en términos de promedios de conjunto

${\displaystyle {\overline {S}}=-{\overline {\ln \rho }}}$, y ${\displaystyle \mu \equiv {\frac {1}{T}},\;k_{B}=1,}$

o por comparación con la segunda ley de la termodinámica. es ahora la entropía de entrelazamiento o entropía de von Neumann de grano fino. Esto es cero si el sistema está en estado puro y es distinto de cero cuando está en estado mixto (entrelazado). ${\displaystyle {\overline {S}}}$

Arriba consideramos un sistema inmerso en otro enorme llamado baño de calor con posibilidad de permitir el intercambio de calor entre ellos. Con frecuencia se considera una situación diferente, es decir, dos sistemas A y B con un pequeño agujero en la partición entre ellos. Supongamos que B está originalmente vacío pero A contiene un dispositivo explosivo que llena A instantáneamente con fotones. Originalmente A y B tienen energías y respectivamente, y no hay interacción. Por lo tanto, originalmente ambos se encuentran en estados cuánticos puros y tienen cero entropías de grano fino. Inmediatamente después de la explosión, A se llena de fotones, quedando la energía todavía y la de B también (aún no se ha escapado ningún fotón). Dado que A está lleno de fotones, estos obedecen a una ley de distribución de Planck y, por tanto, la entropía térmica de grano grueso de A es distinta de cero (recuerde: muchas configuraciones de los fotones en A, muchos estados con un máximo), aunque la mecánica cuántica de grano fino la entropía sigue siendo cero (mismo estado de energía), al igual que la de B. Ahora permita que los fotones se escapen lentamente (es decir, sin perturbar el equilibrio) de A a B. Con menos fotones en A, su entropía de grano grueso disminuye, pero la de B. B aumenta. Este entrelazamiento de A y B implica que ahora están mecánicamente cuánticamente en estados mixtos, por lo que sus entropías de grano fino ya no son cero. Finalmente, cuando todos los fotones están en B, la entropía de grano grueso de A así como su entropía de grano fino desaparecen y A está nuevamente en estado puro pero con nueva energía. Por otro lado, B ahora tiene una entropía térmica aumentada, pero como el entrelazamiento terminó, mecánicamente cuánticamente está nuevamente en un estado puro, su estado fundamental, y tiene cero entropía de von Neumann de grano fino. Considere B: en el curso del entrelazamiento con A, su entropía de grano fino o entrelazamiento comenzó y terminó en estados puros (por lo tanto, con cero entropías). Sin embargo, su entropía de grano grueso aumentó de cero a su valor final distinto de cero. Aproximadamente a la mitad del procedimiento, la entropía de entrelazamiento de B alcanza un máximo y luego disminuye a cero al final. ${\displaystyle E_{A}}$ ${\displaystyle E_{B}}$ ${\displaystyle E_{A}}$ ${\displaystyle E_{B}}$

La entropía térmica clásica de grano grueso de la segunda ley de la termodinámica no es la misma que la entropía de grano fino de la mecánica cuántica (en su mayoría más pequeña). La diferencia se llama información . Como puede deducirse de los argumentos anteriores, esta diferencia es aproximadamente cero antes de que la entropía de entrelazamiento (que es la misma para A y B) alcance su máximo. Un ejemplo de granulación gruesa lo proporciona el movimiento browniano . ^[17]

Paquetes de programas

• Simulador masivo paralelo atómico/molecular a gran escala ( LAMMPS )
• Paquete de simulación extensible para la investigación sobre materia blanda ESPResSo (enlace externo)

Referencias

1. Kmiecik S, Gront D, Kolinski M, Wieteska L, Dawid AE, Kolinski A (julio de 2016). "Modelos de proteínas de grano grueso y sus aplicaciones". Reseñas químicas . 116 (14): 7898–936. doi : 10.1021/acs.chemrev.6b00163 . PMID  27333362.
2. Ingólfsson HI, Lopez CA, Uusitalo JJ, de Jong DH, Gopal SM, Periole X, Marrink SJ (mayo de 2014). "El poder del grano grueso en simulaciones biomoleculares". Reseñas interdisciplinarias de Wiley: ciencia molecular computacional . 4 (3): 225–248. doi :10.1002/wcms.1169. PMC 4171755 . PMID  25309628. 
3. Boniecki MJ, Lach G, Dawson WK, Tomala K, Lukasz P, Soltysinski T, et al. (Abril de 2016). "SimRNA: un método de grano grueso para simulaciones de plegamiento de ARN y predicción de estructuras 3D". Investigación de ácidos nucleicos . 44 (7): e63. doi : 10.1093/nar/gkv1479. PMC 4838351 . PMID  26687716. 
4. Potoyan DA, Savelyev A, Papoian GA (1 de enero de 2013). "Éxitos recientes en el modelado de ADN de grano grueso". Reseñas interdisciplinarias de Wiley: ciencia molecular computacional . 3 (1): 69–83. doi :10.1002/wcms.1114. ISSN  1759-0884. S2CID  12043343.
5. Baron R, Trzesniak D, de Vries AH, Elsener A, Marrink SJ, van Gunsteren WF (febrero de 2007). "Comparación de propiedades termodinámicas de modelos de simulación de nivel atómico y de grano grueso" (PDF) . ChemPhysChem . 8 (3): 452–61. doi :10.1002/cphc.200600658. hdl : 11370/92eedd39-1d54-45a4-bd8b-066349852bfb . PMID  17290360.
6. López CA, Rzepiela AJ, de Vries AH, Dijkhuizen L, Hünenberger PH, Marrink SJ (diciembre de 2009). "Campo de fuerza de grano grueso de Martini: extensión a los carbohidratos". Revista de Teoría y Computación Química . 5 (12): 3195–210. doi :10.1021/ct900313w. PMID  26602504.
7. Hadley KR, McCabe C (julio de 2012). "Modelos moleculares de agua de grano grueso: una revisión". Simulación molecular . 38 (8–9): 671–681. doi :10.1080/08927022.2012.671942. PMC 3420348 . PMID  22904601. 
8. Seiferth D, Sollich P, Klumpp S (diciembre de 2020). "De grano grueso de sistemas bioquímicos descritos por dinámica estocástica discreta". Revisión física E. 102 (6–1): 062149. arXiv : 2102.13394 . Código bibliográfico : 2020PhRvE.102f2149S. doi : 10.1103/PhysRevE.102.062149. PMID  33466014. S2CID  231652939.
9. Hummer G, Szabo A (julio de 2015). "Reducción óptima de la dimensionalidad de modelos cinéticos multiestado y de estado de Markov". La Revista de Química Física B. 119 (29): 9029–37. doi :10.1021/jp508375q. PMC 4516310 . PMID  25296279. 
10. Liepelt S, Lipowsky R (junio de 2007). "Red de motocicletas quimiomecánicas de Kinesin". Cartas de revisión física . 98 (25): 258102. Código bibliográfico : 2007PhRvL..98y8102L. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.258102. PMID  17678059.
11. Levitt M, Warshel A (febrero de 1975). "Simulación informática del plegamiento de proteínas". Naturaleza . 253 (5494): 694–8. Código Bib :1975Natur.253..694L. doi :10.1038/253694a0. PMID  1167625. S2CID  4211714.
12. Warshel A, Levitt M (mayo de 1976). "Estudios teóricos de reacciones enzimáticas: estabilización dieléctrica, electrostática y estérica del ion carbonio en la reacción de lisozima". Revista de biología molecular . 103 (2): 227–49. doi :10.1016/0022-2836(76)90311-9. PMID  985660.
13. Levitt M (septiembre de 2014). "Nacimiento y futuro del modelado multiescala para sistemas macromoleculares (Conferencia Nobel)". Angewandte Chemie . 53 (38): 10006–18. doi :10.1002/anie.201403691. PMID  25100216. S2CID  3680673.
14. Badaczewska-Dawid AE, Kolinski A, Kmiecik S (2020). "Reconstrucción computacional de estructuras de proteínas atomísticas a partir de modelos de grano grueso". Revista de Biotecnología Computacional y Estructural . 18 : 162-176. doi :10.1016/j.csbj.2019.12.007. PMC 6961067 . PMID  31969975. 
15. Susskind L, Lindesay J (2005). Agujeros negros, información y la revolución de la teoría de cuerdas . Científico mundial. págs. 69–77. ISBN 981-256-131-5.
16. Müller-Kirsten HJ (2013). Conceptos básicos de física estadística (2ª ed.). Científico mundial. págs. 28–31, 152–167. ISBN 978-981-4449-53-3.
17. Muntean A, Rademacher JD, Zagaris A (2016). Fenómenos macroscópicos y de gran escala: grano grueso, límites medios de campo y ergodicidad . Saltador. ISBN 978-3-319-26883-5.