diamante cúbico

Tipo de estructura cristalina

Modelo giratorio de la estructura cristalina cúbica del diamante.

Modelo 3D de bolas y palos de una red de diamantes

Figura polar en proyección estereográfica de la red de diamantes que muestra la simetría triple a lo largo de la dirección [111]

En cristalografía , la estructura cristalina cúbica del diamante es un patrón repetitivo de 8 átomos que ciertos materiales pueden adoptar a medida que se solidifican. Si bien el primer ejemplo conocido fue el diamante , otros elementos del grupo 14 también adoptan esta estructura, incluido el α-estaño , los semiconductores silicio y germanio , y las aleaciones silicio-germanio en cualquier proporción. También hay cristales, como la forma de cristobalita de alta temperatura , que tienen una estructura similar, con un tipo de átomo (como el silicio en la cristobalita) en las posiciones de los átomos de carbono en el diamante pero con otro tipo de átomo (como oxígeno) a medio camino entre ellos (ver Categoría:Minerales en el grupo espacial 227 ).

Aunque a menudo se la llama red de diamantes , esta estructura no es una red en el sentido técnico de esta palabra utilizada en matemáticas.

Estructura cristalográfica

Visualización de una celda unitaria cúbica de diamante: 1. Componentes de una celda unitaria, 2. Una celda unitaria, 3. Una red de 3 × 3 × 3 celdas unitarias

La estructura cúbica de Diamond está en el grupo espacial Fd 3 m (grupo espacial 227), que sigue la red cúbica de Bravais centrada en las caras . La celosía describe el patrón repetido; para los cristales cúbicos de diamante, esta red está "decorada" con un motivo de dos átomos unidos tetraédricamente en cada celda primitiva , separados por 1/4del ancho de la celda unitaria en cada dimensión. ^[1] La red de diamantes se puede ver como un par de redes cúbicas centradas en las caras que se cruzan , cada una separada por1/4del ancho de la celda unitaria en cada dimensión. Muchos semiconductores compuestos , como el arseniuro de galio , el carburo de silicio β y el antimonuro de indio , adoptan la estructura análoga de la mezcla de zinc , donde cada átomo tiene vecinos más cercanos de un elemento diferente. El grupo espacial de la zincblenda es F 4 3m, pero muchas de sus propiedades estructurales son bastante similares a la estructura del diamante. ^[2]

El factor de empaquetamiento atómico de la estructura cúbica de diamante (la proporción de espacio que sería llenado por esferas que están centradas en los vértices de la estructura y son lo más grandes posible sin superponerse) es ^[3] significativamente menor (lo que indica una estructura menos densa ) que los factores de empaquetamiento para las redes cúbicas centradas en las caras y centradas en el cuerpo . ^[4] Las estructuras de zincblenda tienen factores de empaquetamiento superiores a 0,34, dependiendo de los tamaños relativos de los dos átomos que los componen. ${\displaystyle {\tfrac {\pi {\sqrt {3}}}{16}}\approx 0.34,}$

Las distancias del primer, segundo, tercer, cuarto y quinto vecino más cercano en unidades de la constante de red cúbica son respectivamente. ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {11}}{4}},1,{\tfrac {\sqrt {19}}{4}},}$

Estructura matemática

Matemáticamente, a los puntos de la estructura cúbica del diamante se les pueden dar coordenadas como un subconjunto de una red entera tridimensional utilizando una celda unitaria cúbica de cuatro unidades de ancho. Con estas coordenadas, los puntos de la estructura tienen coordenadas ( x , y , z ) satisfaciendo las ecuaciones ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}x=y&=z\ ({\text{mod }}\ 2),\\x+y+z&=0{\text{ or }}1\ ({\text{mod }}\ 4).\end{aligned}}}$$

Hay ocho puntos ( módulo 4) que cumplen estas condiciones:

(0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),

(3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

Todos los demás puntos de la estructura se pueden obtener sumando múltiplos de cuatro a las coordenadas x, y, z de estos ocho puntos. Los puntos adyacentes en esta estructura están separados en la red de números enteros; los bordes de la estructura de diamante se encuentran a lo largo de las diagonales del cuerpo de los cubos de la cuadrícula entera. Esta estructura se puede escalar a una celda unitaria cúbica que tiene un número de unidades de ancho multiplicando todas las coordenadas por  ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$a/4.

Alternativamente, cada punto de la estructura cúbica del diamante puede estar dado por coordenadas enteras de cuatro dimensiones cuya suma es cero o uno. Dos puntos son adyacentes en la estructura del diamante si y sólo si sus coordenadas tetradimensionales difieren en uno en una sola coordenada. La diferencia total en los valores de las coordenadas entre dos puntos cualesquiera (su distancia de Manhattan de cuatro dimensiones ) da el número de aristas en el camino más corto entre ellos en la estructura del diamante. Los cuatro vecinos más cercanos de cada punto se pueden obtener, en este sistema de coordenadas, sumando uno a cada una de las cuatro coordenadas, o restando uno a cada una de las cuatro coordenadas, según que la suma de coordenadas sea cero o uno. Estas coordenadas cuatridimensionales se pueden transformar en coordenadas tridimensionales mediante la fórmula ^{[5] [6]}

$${\displaystyle (a,b,c,d)\to (a+b-c-d,\ a-b+c-d,\ -a+b+c-d).}$$

que preserva la distanciacubo parcial^[6]

Otra coordinación más del diamante cúbico implica la eliminación de algunos de los bordes de un gráfico de cuadrícula tridimensional. En esta coordinatización, que tiene una geometría distorsionada de la estructura cúbica de diamante estándar pero tiene la misma estructura topológica, los vértices de la cúbica de diamante están representados por todos los puntos posibles de la cuadrícula 3D y los bordes de la cúbica de diamante están representados por un subconjunto de la Bordes de rejilla 3D. ^[7]

El diamante cúbico a veces se denomina "red de diamantes" pero, matemáticamente, no es una red : no existe una simetría traslacional que lleve el punto (0,0,0) al punto (3,3,3), por ejemplo. . Sin embargo, sigue siendo una estructura altamente simétrica: cualquier par incidente de un vértice y una arista puede transformarse en cualquier otro par incidente mediante una congruencia del espacio euclidiano . Además, el cristal de diamante como red en el espacio tiene una fuerte propiedad isotrópica. ^[8] Es decir, para dos vértices cualesquiera x, y de la red cristalina, y para cualquier orden de los bordes adyacentes a x y cualquier orden de los bordes adyacentes a y , existe una congruencia que preserva la red tomando xey y cada borde x al borde y ordenado de manera similar . Otro cristal (hipotético) con esta propiedad es el gráfico de Laves (también llamado cristal K ₄ , (10,3)-a, o gemelo de diamante). ^[9]

Propiedades mecánicas

La resistencia a la compresión y la dureza del diamante y varios otros materiales, como el nitruro de boro , ^{[10] (que tiene la} estructura de zincblenda estrechamente relacionada ) se atribuye a la estructura cúbica del diamante.

Ejemplo de un sistema de celosía cúbica de diamante para resistir la compresión.

De manera similar, los sistemas de armadura que siguen la geometría cúbica de diamante tienen una alta capacidad para resistir la compresión, al minimizar la longitud no arriostrada de los puntales individuales . ^[11] La geometría cúbica de diamante también se ha considerado con el propósito de proporcionar rigidez estructural ^{[12] [13]} aunque se ha descubierto que las estructuras compuestas por triángulos esqueléticos , como la armadura de octeto , son más efectivas para este propósito.

Ver también

• Alótropos del carbono  : materiales fabricados únicamente con carbono.
• Cristalografía  : estudio científico de las estructuras cristalinas.
• Gráfico de Laves  - Gráfico espacial periódico
• Panal tetraédrico truncado de Triakis  : teselación que llena el espacio

Referencias

1. Kobashi, Koji (2005), "2.1 Estructura del diamante", Películas de diamante: deposición química de vapor para crecimiento heteroepitaxial y orientado , Elsevier, p. 9, ISBN 978-0-08-044723-0.
2. Wiberg, Egon; Wiberg, Nils; Holleman, Arnold Frederick (2001), Química inorgánica , Academic Press, p. 1300, ISBN 978-0-12-352651-9.
3. Askeland, Donald R.; Phulé, Pradeep Prabhakar (2006), "Ejemplo 3-15: Determinación del factor de empaquetamiento del silicio cúbico de diamante", La ciencia y la ingeniería de materiales , Cengage Learning, p. 82, ISBN 978-0-534-55396-8.
4. Novikov, Vladimir (2003), Diccionario conciso de ciencia de materiales: estructura y caracterización de materiales policristalinos , CRC Press, p. 9, ISBN 978-0-8493-0970-0.
5. Nagy, Benedek; Strand, Robin (2009), "Secuencias vecinales en la cuadrícula de diamantes: algoritmos con cuatro vecinos", Análisis combinatorio de imágenes: 13º Taller Internacional, IWCIA 2009, Playa Del Carmen, México, 24 al 27 de noviembre de 2009, Actas , Notas de conferencias en Ciencias de la Computación , vol. 5852, Springer-Verlag, págs. 109–121, Bibcode :2009LNCS.5852..109N, doi :10.1007/978-3-642-10210-3_9, ISBN 978-3-642-10210-3.
6. Eppstein, David (2009), "Subgrafos de diamantes isométricos", en Tollis, Ioannis G.; Patrignani, Maurizio (eds.), Dibujo gráfico: 16º Simposio internacional, GD 2008, Heraklion, Creta, Grecia, 21 al 24 de septiembre de 2008, artículos revisados, Lecture Notes in Computer Science, vol. 5417, Springer-Verlag, págs. 384–389, arXiv : 0807.2218 , doi : 10.1007/978-3-642-00219-9_37, ISBN 978-3-642-00219-9, S2CID  14066610.
7. Parhami, B.; Kwai, Ding-Ming (2001), "Una formulación unificada de redes en forma de panal y diamante", IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems , 12 (1): 74–80, doi :10.1109/71.899940.
8. Sunada, Toshikazu (2012), Cristalografía topológica -con miras al análisis geométrico discreto- , Springer, ISBN 978-4-431-54176-9
9. Sunada, Toshikazu (2008), "Cristales que la naturaleza podría no crear", Avisos de la AMS , 55 : 208–215
10. En blanco, V.; Popov, M.; Pivovarov, G.; Lvova, N. et al. (1998). "Fases ultraduras y superduras de fullerita C60: comparación con el diamante en dureza y desgaste". Diamante y materiales relacionados 7 (2–5): 427. [1]
11. Lorimer, A. "The Diamond Cubic Truss", Mundo interior: diseño y detalle, vol.121, 2013, págs. 80–81
12. R.Kraft. Acuerdo de construcción, EE. UU., Patentes de los Estados Unidos, US3139959, 1964 [2]
13. Gilman, J. Tetrahedral Truss, EE. UU., Patentes de Estados Unidos, US4446666, 1981 [3]

enlaces externos

• Medios relacionados con el diamante cúbico en Wikimedia Commons
• Software para construir paseos aleatorios que se evitan por sí solos en la red cúbica de diamantes