Opción de mirar hacia atrás

Las opciones lookback , en la terminología financiera , son un tipo de opción exótica con dependencia de la trayectoria, entre muchos otros tipos de opciones . El pago depende del precio óptimo (máximo o mínimo) del activo subyacente que se produzca durante la vida de la opción. La opción permite al tenedor "mirar hacia atrás" en el tiempo para determinar el pago. Existen dos tipos de opciones lookback: con strike flotante y con strike fijo.

Opción de lookback con golpe flotante

Como su nombre lo indica, el precio de ejercicio de la opción es flotante y se determina al vencimiento. El precio de ejercicio flotante es el valor óptimo del precio del activo subyacente durante la vida de la opción. El pago es la diferencia máxima entre el precio del activo de mercado al vencimiento y el precio de ejercicio flotante. Para la opción call, el precio de ejercicio se fija en el precio más bajo del activo durante la vida de la opción y, para la opción put, se fija en el precio más alto del activo. Tenga en cuenta que estas opciones no son realmente opciones, ya que siempre serán ejercidas por su tenedor. De hecho, la opción nunca está fuera del dinero, lo que la hace más cara que una opción estándar. Las funciones de pago para la opción call lookback y la opción put lookback, respectivamente, están dadas por:

${\displaystyle LC_{float}=\max(S_{T}-S_{min},0)=S_{T}-S_{min},~~{\text{and}}~~LP_{float}=\max(S_{max}-S_{T},0)=S_{max}-S_{T},}$

donde es el precio máximo del activo durante la vida de la opción, es el precio mínimo del activo durante la vida de la opción y es el precio del activo subyacente al vencimiento . ${\displaystyle S_{max}}$ ${\displaystyle S_{min}}$ ${\displaystyle S_{T}}$ ${\displaystyle T}$

Opción de lookback con golpe fijo

En el caso de las opciones europeas estándar , el precio de ejercicio de la opción es fijo. La diferencia es que la opción no se ejerce al precio de vencimiento: el pago es la diferencia máxima entre el precio óptimo del activo subyacente y el precio de ejercicio. En el caso de la opción de compra, el tenedor elige ejercerla en el momento en que el precio del activo subyacente se encuentra en su nivel más alto. En el caso de la opción de venta, el tenedor elige ejercerla al precio más bajo del activo subyacente. Las funciones de pago para la opción de compra retrospectiva y la opción de venta retrospectiva, respectivamente, se dan por:

${\displaystyle LC_{fix}=\max(S_{max}-K,0),~~{\text{and}}~~LP_{fix}=\max(K-S_{min},0),}$

donde es el precio máximo del activo durante la vida de la opción, es el precio mínimo del activo durante la vida de la opción y es el precio de ejercicio. ${\displaystyle S_{max}}$ ${\displaystyle S_{min}}$ ${\displaystyle K}$

Precio sin arbitraje de opciones retrospectivas con precio de ejercicio flotante

Utilizando el modelo Black–Scholes y sus notaciones, podemos fijar el precio de las opciones retrospectivas europeas con precio de ejercicio flotante. El método de fijación de precios es mucho más complicado que el de las opciones europeas estándar y se puede encontrar en Musiela . ^[1] Supongamos que existe una tasa de interés libre de riesgo compuesta continuamente y una volatilidad de acciones constante . Supongamos que el tiempo hasta el vencimiento es , y que fijaremos el precio de la opción en el momento , aunque la vida de la opción comenzó en el momento cero. Defina . Finalmente, establezca que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle t<T}$ ${\displaystyle \tau =T-t}$

${\displaystyle M=\max _{0\leq u\leq t}S_{u},~~m=\min _{0\leq u\leq t}S_{u}{\text{ and }}S_{t}=S.}$

Entonces, el precio de la opción call lookback con strike flotante viene dado por:

${\displaystyle LC_{t}=S\Phi (a_{1}(S,m))-me^{-r\tau }\Phi (a_{2}(S,m))-{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (-a_{1}(S,m))-e^{-r\tau }(m/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (-a_{3}(S,m))),}$

dónde

${\displaystyle a_{1}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$

${\displaystyle a_{2}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle a_{3}(S,H)={\frac {\ln(S/H)-(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-{\frac {2r{\sqrt {\tau }}}{\sigma }},{\text{ with }}H>0,S>0,}$

y donde es la función de distribución acumulativa normal estándar , . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (a)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{a}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}$

De manera similar, el precio de la opción put lookback con strike flotante viene dado por:

${\displaystyle LP_{t}=-S\Phi (-a_{1}(S,M))+Me^{-r\tau }\Phi (-a_{2}(S,M))+{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (a_{1}(S,M))-e^{-r\tau }(M/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (a_{3}(S,M))).}$

Opciones de retrospección parcial

Las opciones retrospectivas parciales son una subclase de opciones retrospectivas con la misma estructura de pago, pero con el objetivo de reducir su precio justo. Una forma es escalar el precio justo linealmente con una constante , donde . ^[2] Por lo tanto, el pago es: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$

${\displaystyle \lambda (\max\{S_{i}\}_{1}^{T}-S_{T})}$

La selección de fechas específicas es una forma más compleja de crear opciones parciales de retrospección y otras opciones parciales dependientes de la trayectoria. El principio consiste en seleccionar un subconjunto de fechas de seguimiento, de modo que la condición de retrospección sea menos fuerte y, por lo tanto, se reduzca la prima. Algunos ejemplos incluyen la opción de retrospección parcial propuesta por Heynen y Kat ^[3] y la opción de retrospección amnésica propuesta por Chang y Li ^[4] . Las opciones discretas que dependen de la trayectoria parcial tienen un precio excesivo en supuestos continuos; su fijación de precios es compleja y, por lo general, se realiza utilizando métodos numéricos ^{[5] [6]}

Referencias

1. Musiela, Marcos; Rutkowski, Marek (25 de noviembre de 2004). Métodos de martingala en modelos financieros . Saltador. ISBN 978-3-540-20966-9.
2. Conze, Antoine; Viswanathan (1991). "Opciones dependientes de la trayectoria: el caso de las opciones retrospectivas". The Journal of Finance . 46 (5): 1893–1907. doi :10.1111/j.1540-6261.1991.tb04648.x.
3. Heynen, Robert; Harry, Kat (1995). "Opciones retrospectivas con seguimiento discreto y parcial del precio subyacente". Applied Mathematical Finance . 2 (4): 273–284. doi :10.1080/13504869500000014.
4. Chang, Ho-Chun Herbert; Li, Kevin (2018). "La opción retrospectiva amnésica: opciones retrospectivas selectivamente monitoreadas y criptomonedas". Fronteras en matemáticas aplicadas y estadísticas . 4 . doi : 10.3389/fams.2018.00010 .
5. Boyarchenko, Svetlana; Levendorski, Sergei (2013). "Inversión de Laplace eficiente, factorización de Wiener-Hopf y retrospecciones de precios". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 16 (3): 1350011. doi :10.1142/S0219024913500118.
6. Feng, Liming; Linetsky, Vadim (2009). "Cálculo de momentos exponenciales del máximo discreto de un proceso de Lévy y opciones retrospectivas". Finanzas y estocástica . 13 (3): 1350011. doi :10.1142/S0219024913500118.