Procedimiento para determinar si un operador es invertible
En las matemáticas de los espacios de Banach , el método de continuidad proporciona condiciones suficientes para deducir la invertibilidad de un operador lineal acotado a partir de la de otro operador relacionado.
Formulación
Sea B un espacio de Banach , V un espacio vectorial normado y una familia normativa continua de operadores lineales acotados de B a V. Supóngase que existe una constante positiva C tal que para cada uno
Entonces es sobreyectiva si y sólo si también es sobreyectiva.
Aplicaciones
El método de continuidad se utiliza junto con estimaciones a priori para demostrar la existencia de soluciones adecuadamente regulares para ecuaciones diferenciales parciales elípticas .
Prueba
Suponemos que es sobreyectiva y demostramos que también lo es.
Subdividiendo el intervalo [0,1] podemos suponer que . Además, la sobreyectividad de implica que V es isomorfo a B y, por tanto, un espacio de Banach. La hipótesis implica que es un subespacio cerrado.
Supongamos que es un subespacio propio. El lema de Riesz muestra que existe un subespacio tal que y . Ahora bien, para algunos y por la hipótesis. Por lo tanto
lo cual es una contradicción ya que .
Véase también
Fuentes
- Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7