membrana de dirac

Modelo de membrana cargada.

En mecánica cuántica , una membrana de Dirac es un modelo de membrana cargada introducido por Paul Dirac en 1962. La motivación original de Dirac era explicar la masa del muón como una excitación del estado fundamental correspondiente a un electrón . ^[1] Anticipándose casi una década al nacimiento de la teoría de cuerdas , fue el primero en introducir lo que ahora se llama un tipo de acción Nambu-Goto para membranas. ^{[2] [3]}

En el modelo de membrana de Dirac, las fuerzas electromagnéticas repulsivas sobre la membrana se equilibran con las de contracción provenientes de la tensión positiva. En el caso de la membrana esférica, las ecuaciones clásicas de movimiento implican que se cumple el equilibrio para el radio , donde es el radio clásico del electrón . Utilizando la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld para el hamiltoniano de la membrana esféricamente simétrica, Dirac encuentra la aproximación de la masa correspondiente a la primera excitación como , donde es la masa del electrón, que es aproximadamente una cuarta parte de la masa del muón observada. ${\displaystyle 0.75r_{e}}$ ${\displaystyle r_{e}}$ ${\displaystyle 53m_{e}}$ ${\displaystyle m_{e}}$

Principio de acción

Dirac eligió una forma no estándar de formular el principio de acción de la membrana. Debido a que las membranas cerradas proporcionan una división natural del espacio en el interior y el exterior, existe un sistema curvilíneo especial de coordenadas en el espacio-tiempo y una función tal que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle f(x)}$

- define una membrana ${\displaystyle f(x)=0}$

- , describe una región fuera o dentro de la membrana ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle f(x)<0}$

Eligiendo el siguiente calibre , , donde , ( ) es la parametrización interna del volumen-mundo de la membrana, la acción de la membrana propuesta por Dirac es ${\displaystyle x^{1}=f(x)}$ ${\displaystyle \sigma ^{0}=x^{0}=:\tau }$ ${\displaystyle \sigma ^{1}=x^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=x^{3}}$ ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$

${\displaystyle S=S_{EM}+S_{membrane}}$

${\displaystyle S_{EM}=-{\frac {1}{16\pi }}\int _{x^{1}>0}Jg^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }d^{4}x,\ \ \ \ S_{mem.}=-{\frac {\omega }{4\pi }}\int _{x^{1}=0}Mdx^{0}dx^{2}dx^{3}}$

donde la métrica inducida y los factores J y M están dados por

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\partial _{\mu }y^{\Lambda }\partial _{\nu }y_{\Lambda },\ \ \ \Lambda =0,1,2,3}$

${\displaystyle J={\sqrt {-\det g_{\mu \nu }}}.\ \ \ M=J{\sqrt {-g^{11}}}}$

En las anteriores son rectilíneas y ortogonales. La firma espacio-temporal utilizada es (+,-,-,-). Tenga en cuenta que es sólo una acción habitual para el campo electromagnético en un sistema curvilíneo, mientras que la integral sobre el volumen del mundo de la membrana, es decir, precisamente el tipo de acción utilizada más adelante en la teoría de cuerdas. ${\displaystyle y^{\Lambda }}$ ${\displaystyle S_{EM}}$ ${\displaystyle S_{membrane}}$

Ecuaciones de movimiento

Hay 3 ecuaciones de movimiento que se derivan de la variación con respecto a y . Son: - variación para - esto da como resultado ecuaciones de Maxwell sin fuente - variación para - esto da una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell - variación para ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle y^{\Lambda }}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle x_{1}>0}$ ${\displaystyle y^{\Lambda }}$ ${\displaystyle x_{1}>0}$ ${\displaystyle y^{\Lambda }}$ ${\displaystyle x_{1}=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F_{\alpha 1}F^{\alpha 1}=\omega J^{-1}(Mg^{1\mu }/g^{11})_{,\mu }}$

La última ecuación tiene una interpretación geométrica: el rhs es proporcional a la curvatura de la membrana. Para el caso esféricamente simétrico obtenemos

${\displaystyle {\frac {e^{2}}{2\rho ^{4}}}=\omega {\frac {d}{dt}}{\frac {\dot {\rho }}{\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}+{\frac {2\omega }{\rho {\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}}}$

Por tanto, la condición de equilibrio implica dónde está el radio de la membrana equilibrada. La energía total para la membrana esférica con radio es ${\displaystyle {\dot {\rho }}=0}$ ${\displaystyle a^{3}=e^{2}/4\omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle E(\rho )=e^{2}/2\rho +\beta \rho ^{2}}$

y es mínimo en el equilibrio para , por lo tanto . Por otro lado, la energía total en el equilibrio debería ser (en unidades) y así obtenemos . ${\displaystyle \beta =\omega }$ ${\displaystyle E(a)=3e^{2}/4a}$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle a=0.75r_{e}}$

formulación hamiltoniana

Pequeñas oscilaciones sobre el equilibrio en el caso esféricamente simétrico implican frecuencias - . Por tanto, yendo a la teoría cuántica, la energía de un cuanto sería . Esto es mucho más que la masa del muón, pero las frecuencias no son pequeñas, por lo que es posible que esta aproximación no funcione correctamente. Para obtener una mejor teoría cuántica es necesario calcular el hamiltoniano del sistema y resolver la correspondiente ecuación de Schroedinger. ${\displaystyle {\sqrt {6}}/a}$ ${\displaystyle h\nu ={\sqrt {6}}\hbar /a=448m_{e}}$

Para la formulación hamiltoniana, Dirac introduce momentos generalizados

-for : y -momentos conjugados con y respectivamente ( , elección de coordenadas ) ${\displaystyle x^{1}>0}$ ${\displaystyle B^{\mu }}$ ${\displaystyle w_{R}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle y^{R}}$ ${\displaystyle R=1,2,3}$ ${\displaystyle x^{0}=y^{0}}$

- para : - momentos conjugados con ${\displaystyle x^{1}=0}$ ${\displaystyle W_{R}}$ ${\displaystyle y^{R}}$

Entonces uno nota las siguientes restricciones

- para el campo Maxwell

${\displaystyle B^{0}=0,\ \ \ {B^{r}}_{,r}=0,\ \ \ w_{R}{y^{R}}_{,s}-B^{r}F_{rs}=0}$

- para momentos de membrana

${\displaystyle W_{R}{y^{R}}_{,2}=W_{R}{y^{R}}_{,3}=0,\ \ \ 16\pi ^{2}W_{R}W_{R}=\omega ^{2}M^{2}c^{00}(c^{00}-1)}$

donde - recíproco de , . ${\displaystyle c^{ab}}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle a,b=0,2,3}$

Estas restricciones deben incluirse al calcular el hamiltoniano, utilizando el método de paréntesis de Dirac . El resultado de este cálculo es el hamiltoniano de la forma

${\displaystyle H=H_{EM}+H_{s}}$

${\displaystyle H_{s}={\frac {1}{4\pi }}\int {\sqrt {16\pi ^{2}W_{R}W_{R}+\omega ^{2}(g_{22}g_{33}-g_{23}^{2})}}dx^{2}dx^{3}}$

¿Dónde está el hamiltoniano para el campo electromagnético escrito en el sistema curvilíneo? ${\displaystyle H_{EM}}$

Cuantización

Para el movimiento esféricamente simétrico el hamiltoniano es

${\displaystyle H={\sqrt {\eta ^{2}+\omega ^{2}\rho ^{4}}}+e^{2}/2\rho ,\ \ \ \{\rho ,\eta \}=1}$

sin embargo, la cuantificación directa no está clara debido a la raíz cuadrada del operador diferencial. Para ir más lejos, Dirac considera el método de Bohr-Sommerfeld:

${\displaystyle 2\pi \hbar n=2\int _{\rho _{min}}^{\rho _{max}}\eta d\rho }$

y encuentra para . ${\displaystyle E_{1}\approx 53m_{e}}$ ${\displaystyle n=1}$

Ver también

• brana

Referencias

1. "membrana en nLab". ncatlab.org . Archivado desde el original el 2 de noviembre de 2023 . Consultado el 2 de noviembre de 2023 .
2. Sanyuk, Valerii I.; Sujánov, Alexander D. (1 de septiembre de 2003). "Dirac en la física del siglo XX: una evaluación del centenario". Física-Uspekhi . 46 (9): 937–956. ISSN  1063-7869. Archivado desde el original el 8 de noviembre de 2023 . Consultado el 9 de noviembre de 2023 .
3. Pinzas, David (2009). "Teoria de las cuerdas". Universidad de Cambridge . Archivado desde el original el 23 de abril de 2021 . Consultado el 2 de noviembre de 2023 .

• PAM Dirac, Un modelo extensible del electrón, Proc. Roy. Soc. A268, (1962) 57–67.