Medida del riesgo de distorsión

En matemáticas y economía financiera , una medida de riesgo de distorsión es un tipo de medida de riesgo que está relacionada con la función de distribución acumulativa del rendimiento de una cartera financiera .

Definición matemática

La función asociada a la función de distorsión es una medida de riesgo de distorsión si para cualquier variable aleatoria de ganancias (donde es el espacio L p ) entonces ${\displaystyle \rho _{g}:L^{p}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:[0,1]\to [0,1]}$ ${\displaystyle X\in L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle \rho _{g}(X)=-\int _{0}^{1}F_{-X}^{-1}(p)d{\tilde {g}}(p)=\int _{-\infty }^{0}{\tilde {g}}(F_{-X}(x))dx-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx}$

donde es la función de distribución acumulativa para y es la función de distorsión dual . ^[1] ${\displaystyle F_{-X}}$ ${\displaystyle -X}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}(u)=1-g(1-u)}$

Si casi con seguridad entonces se da por la integral de Choquet , es decir, ^{[1] [2]} Equivalentemente, ^[2] tal que es la medida de probabilidad generada por , es decir, para cualquier álgebra sigma entonces . ^[3] ${\displaystyle X\leq 0}$ ${\displaystyle \rho _{g}}$ ${\displaystyle \rho _{g}(X)=-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx.}$ ${\displaystyle \rho _{g}(X)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[-X]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (A))}$

Propiedades

Además de las propiedades de las medidas de riesgo general, las medidas de riesgo de distorsión también tienen:

1. Invariante de ley : Si la distribución de y son la misma entonces . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \rho _{g}(X)=\rho _{g}(Y)}$
2. Monótono con respecto al dominio estocástico de primer orden .
   1. Si es una función de distorsión cóncava , entonces es monótona con respecto al dominio estocástico de segundo orden. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho _{g}}$
3. ${\displaystyle g}$es una función de distorsión cóncava si y sólo si es una medida de riesgo coherente . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \rho _{g}}$

Ejemplos

• El valor en riesgo es una medida de riesgo de distorsión con una función de distorsión asociada ^{[2] [3]} ${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.}$
• El valor condicional en riesgo es una medida de riesgo de distorsión con una función de distorsión asociada ^{[2] [3]} ${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.}$
• La expectativa negativa es una medida de riesgo de distorsión con una función de distorsión asociada . ^[1] ${\displaystyle g(x)=x}$

Véase también

• Medida de riesgo
• Medida de riesgo coherente
• Medida del riesgo de desviación
• Medida de riesgo espectral

Referencias

1. Sereda, EN; Bronstein, EM; Rachev, ST; Fabozzi, FJ; Sol, W.; Stoyanov, SV (2010). "Medidas de riesgo de distorsión en la optimización de carteras". Manual de construcción de carteras . pag. 649. CiteSeerX  10.1.1.316.1053 . doi :10.1007/978-0-387-77439-8_25. ISBN 978-0-387-77438-1.
2. Julia L. Wirch; Mary R. Hardy. "Medidas de riesgo de distorsión: coherencia y dominancia estocástica" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 5 de julio de 2016. Consultado el 10 de marzo de 2012 .
3. Balbás, A.; Garrido, J.; Mayoral, S. (2008). "Propiedades de las medidas de riesgo de distorsión". Metodología y computación en probabilidad aplicada . 11 (3): 385. doi :10.1007/s11009-008-9089-z. hdl : 10016/14071 . S2CID  53327887.

• Wu, Xianyi; Xian Zhou (7 de abril de 2006). "Una nueva caracterización de las primas de distorsión mediante la aditividad contable para riesgos comonotónicos". Seguros: Matemáticas y Economía . 38 (2): 324–334. doi :10.1016/j.insmatheco.2005.09.002.