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Medida fuerte puesta a cero

En el análisis matemático , un conjunto cero de medida fuerte [1] es un subconjunto A de la línea real con la siguiente propiedad:

para cada sucesión (ε n ) de reales positivos existe una sucesión ( I n ) de intervalos tales que | I n | < ε n para todo n y A está contenido en la unión de los I n .

(Aquí | I n | denota la longitud del intervalo I n .)

Todo conjunto numerable es un conjunto de medida fuerte cero, y también lo es toda unión de un número numerable de conjuntos de medida fuerte cero. Todo conjunto de medida fuerte cero tiene medida de Lebesgue 0. El conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto incontable de medida de Lebesgue 0 que no es de medida fuerte cero. [2]

La conjetura de Borel [1] afirma que todo conjunto cero de medida fuerte es numerable. Ahora se sabe que esta afirmación es independiente de ZFC (los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, que es el sistema de axiomas estándar asumido en matemáticas). Esto significa que la conjetura de Borel no puede probarse ni refutarse en ZFC (suponiendo que ZFC es consistente ). Sierpiński demostró en 1928 que la hipótesis del continuo (que ahora también se sabe que es independiente de ZFC) implica la existencia de conjuntos cero de medida fuerte incontables. [3] En 1976, Laver utilizó un método de forzamiento para construir un modelo de ZFC en el que se cumple la conjetura de Borel. [4] Estos dos resultados juntos establecen la independencia de la conjetura de Borel.

La siguiente caracterización de conjuntos cero de medida fuerte se demostró en 1973:

Un conjunto A ⊆ R tiene medida fuerte cero si y sólo si A + M ≠ R para cada conjunto exiguo M ⊆ R . [5]

Este resultado establece una conexión con la noción de conjunto fuertemente magro , definido de la siguiente manera:

Un conjunto M ⊆ R es fuertemente magro si y sólo si A + M ≠ R para todo conjunto A ⊆ R de medida de Lebesgue cero.

La conjetura dual de Borel afirma que todo conjunto fuertemente magro es numerable. Esta afirmación también es independiente de ZFC. [6]

Referencias

  1. ^ ab Borel, Émile (1919). "Sobre la clasificación de conjuntos de medida nula" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 47 : 97-125. doi : 10.24033/bsmf.996 .
  2. ^ Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada. Springer Monographs in Mathematics (3.ª ed.). Springer. pág. 539. ISBN 978-3540440857.
  3. ^ Sierpiński, W. (1928). "Sobre un conjunto no denombrable, no toute image continue est de mesure nulle" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 11 (1): 302–4. doi : 10.4064/fm-11-1-302-303 .
  4. ^ Laver, Richard (1976). "Sobre la consistencia de la conjetura de Borel". Acta Math . 137 (1): 151–169. doi : 10.1007/BF02392416 .
  5. ^ Galvin, F.; Mycielski, J.; Solovay, RM (1973). "Conjuntos cero de medida fuerte". Avisos de la American Mathematical Society . 26 .
  6. ^ Carlson, Timothy J. (1993). "Conjuntos fuertemente exiguos y de medida cero". Proc. Amer. Math. Soc . 118 (2): 577–586. doi : 10.1090/s0002-9939-1993-1139474-6 . JSTOR  2160341.