Medición débil

En mecánica cuántica (y computación e información ), las mediciones débiles son un tipo de medición cuántica que da como resultado que un observador obtenga muy poca información sobre el sistema en promedio, pero también altera muy poco el estado. ^[1] Según el teorema de Busch ^[2], la medición necesariamente perturba el sistema. En la literatura, las mediciones débiles también se conocen como mediciones poco nítidas, ^[3] borrosas, ^{[3] [4]} opacas, ruidosas, ^[5] aproximadas y suaves ^[6] . Además, las mediciones débiles a menudo se confunden con el concepto distinto pero relacionado del valor débil . ^[7]

Historia

Las mediciones débiles se pensaron por primera vez en el contexto de mediciones continuas débiles de sistemas cuánticos ^[8] (es decir, filtrado cuántico y trayectorias cuánticas ). La física de las mediciones cuánticas continuas es la siguiente. Considere el uso de una ancilla, por ejemplo, un campo o una corriente , para probar un sistema cuántico. La interacción entre el sistema y la sonda correlaciona los dos sistemas. Por lo general, la interacción solo correlaciona débilmente el sistema y el ancilla (específicamente, el operador unitario de interacción solo necesita expandirse al primer o segundo orden en la teoría de la perturbación). Midiendo la ancilla y luego utilizando la teoría de la medición cuántica, se puede determinar el estado del sistema condicionado a los resultados de la medición. Para obtener una medición sólida, se deben acoplar y luego medir muchos ancillas. En el límite donde hay un continuo de ancilla el proceso de medición se vuelve continuo en el tiempo. Este proceso fue descrito por primera vez por: Michael B. Mensky; ^{[9] [10]} Viacheslav Belavkin ; ^{[11] [12]} Alberto Barchielli, L. Lanz, gerente general Prosperi; ^[13] Barchielli; ^[14] Cuevas de Carlton ; ^{[15] [16]} Cuevas y Gerald J. Milburn . ^[17] Más tarde, Howard Carmichael ^[18] y Howard M. Wiseman ^[19] también hicieron importantes contribuciones al campo.

La noción de medición débil a menudo se atribuye erróneamente a Yakir Aharonov , David Albert y Lev Vaidman . ^[7] En su artículo consideran un ejemplo de una medida débil (y quizás acuñan la frase "medición débil") y lo utilizan para motivar su definición de un valor débil , que definieron allí por primera vez.

Matemáticas

No existe una definición universalmente aceptada de medida débil. Un enfoque es declarar que una medición débil es una medición generalizada en la que algunos o todos los operadores de Kraus están cerca de la identidad. ^[20] El enfoque adoptado a continuación es interactuar débilmente dos sistemas y luego medir uno de ellos. ^[21] Después de detallar este enfoque, lo ilustraremos con ejemplos.

Interacción débil y medición acoplada ancilla.

Considere un sistema que comienza en el estado cuántico y una ancilla que comienza en el estado , el estado inicial combinado es . Estos dos sistemas interactúan vía el hamiltoniano , que genera las evoluciones temporales (en unidades donde ), donde está la "fuerza de interacción", que tiene unidades de tiempo inverso. Supongamos un tiempo de interacción fijo y que sea pequeño, tal que . Una expansión en serie de in da ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle }$ ${\displaystyle H=A\otimes B}$ ${\displaystyle U(t)=\exp[-ixtH]}$ ${\displaystyle \hbar =1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t=\Delta t}$ ${\displaystyle \lambda =x\Delta t}$ ${\displaystyle \lambda ^{3}\approx 0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3})\\&\approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned}}}$

Debido a que solo era necesario expandir el unitario a un orden bajo en la teoría de la perturbación, a esto lo llamamos interacción débil. Además, el hecho de que el unitario sea predominantemente el operador de identidad, ya que y son pequeños, implica que el estado después de la interacción no es radicalmente diferente del estado inicial. El estado combinado del sistema después de la interacción es ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle |\Psi '\rangle =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\right)|\Psi \rangle .}$

Ahora realizamos una medición en la ancilla para conocer el sistema, esto se conoce como medición acoplada a ancilla. Consideraremos medidas en una base (en el sistema ancilla) tal que . La acción de la medición sobre ambos sistemas se describe por la acción de los proyectores sobre el estado conjunto . De la teoría de la medición cuántica conocemos el estado condicional después de que la medición es ${\displaystyle |q\rangle }$ ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ ${\displaystyle \Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|}$ ${\displaystyle |\Psi '\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{aligned}}}$

donde es un factor de normalización para la función de onda. Observe que el estado del sistema ancilla registra el resultado de la medición. El objeto es un operador en el sistema del espacio de Hilbert y se llama operador de Kraus . ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$

Con respecto a los operadores Kraus, el estado posterior a la medición del sistema combinado es

${\displaystyle |\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .}$

Los objetos son elementos de lo que se llama un POVM y deben obedecer para que las probabilidades correspondientes sumen la unidad: . Como el sistema ancilla ya no está correlacionado con el sistema primario, simplemente registra el resultado de la medición y podemos rastrearlo . Al hacerlo, se obtiene el estado condicional del sistema primario únicamente: ${\displaystyle E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}}$ ${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ ${\textstyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$

${\displaystyle |\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}},}$

que todavía etiquetamos por el resultado de la medición . De hecho, estas consideraciones permiten derivar una trayectoria cuántica . ${\displaystyle q}$

Ejemplos de operadores Kraus

Usaremos el ejemplo canónico de operadores Gaussianos Kraus dado por Barchielli, Lanz, Prosperi; ^[13] y Cuevas y Milburn. ^[17] Tomemos como ejemplo , donde la posición y el impulso en ambos sistemas tienen la relación de conmutación canónica habitual . Tome la función de onda inicial de la ancilla para que tenga una distribución gaussiana ${\displaystyle H=x\otimes p}$ ${\displaystyle [x,p]=i}$

${\displaystyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})]|q'\rangle .}$

La función de onda de posición de la ancilla es

${\displaystyle \Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2})].}$

Los operadores Kraus son (en comparación con la discusión anterior, establecemos ) ${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

mientras que los elementos POVM correspondientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}E(q)&=M_{q}^{\dagger }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

que obedecen . En la literatura se ve a menudo una representación alternativa. Usando la representación espectral del operador de posición , podemos escribir ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{aligned}}}$

Darse cuenta de . ^[17] Es decir, en un límite particular estos operadores se limitan a una fuerte medición de posición; para otros valores de nos referimos a la medición como fuerza finita; y como decimos, la medida es débil. ${\textstyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \to \infty }$

Compensación entre ganancia de información y perturbación

Como se indicó anteriormente, el teorema de Busch ^[2] impide un almuerzo gratis: no puede haber ganancia de información sin perturbación. Sin embargo, muchos autores, entre ellos CA Fuchs y Asher Peres , han caracterizado el equilibrio entre ganancia de información y perturbación ; ^[22] Fuchs; ^[23] Fuchs y KA Jacobs; ^[24] y K. Banaszek. ^[25]

Recientemente, la relación entre ganancia de información y perturbación se ha examinado en el contexto de lo que se denomina el "lema de medición suave". ^{[6] [26]}

Aplicaciones

Desde los primeros días ha quedado claro que el uso principal de la medición débil sería el control de retroalimentación o mediciones adaptativas de sistemas cuánticos. De hecho, esto motivó gran parte del trabajo de Belavkin, y Caves y Milburn dieron un ejemplo explícito. Una de las primeras aplicaciones de mediciones débiles adaptativas fue la del receptor Dolinar , ^[27] que se ha realizado experimentalmente. ^{[28] [29]} Otra aplicación interesante de las mediciones débiles es utilizar mediciones débiles seguidas de un resultado unitario, posiblemente condicionado al resultado de la medición débil, para sintetizar otras mediciones generalizadas. ^[20] El libro de Wiseman y Milburn ^[21] es una buena referencia para muchos de los desarrollos modernos.

Otras lecturas

• El artículo de Brun ^[1]
• Artículo de Jacobs y Steck ^[30]
• Teoría de la medición cuántica y sus aplicaciones, K. Jacobs (Cambridge Press, 2014) ISBN  9781107025486
• Medición y control cuánticos, HM Wiseman y GJ Milburn (Cambridge Press, 2009) ^[21]
• Artículo de Tamir y Cohen ^[31]

Referencias

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