Teorema de la media geométrica

Teorema sobre los triángulos rectángulos

área del cuadrado gris = área del rectángulo gris: ${\displaystyle h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}}$

En geometría euclidiana , el teorema de la altura del triángulo rectángulo o teorema de la media geométrica es una relación entre la altura de la hipotenusa en un triángulo rectángulo y los dos segmentos de línea que crea en la hipotenusa. Establece que la media geométrica de esos dos segmentos es igual a la altura.

Teorema y aplicaciones

Construcción de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ estableciendo q en 1

Si h denota la altura en un triángulo rectángulo y p y q los segmentos de la hipotenusa, entonces el teorema puede enunciarse como: ^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {pq}}}$

o en términos de áreas:

${\displaystyle h^{2}=pq.}$

Desigualdad AM-GM

La última versión proporciona un método para elevar al cuadrado un rectángulo con regla y compás , es decir, para construir un cuadrado de igual área que un rectángulo dado. Para un rectángulo de lados p y q denotamos su vértice superior izquierdo con D (ver la sección Demostración > Basado en similitud para un gráfico de la construcción). Ahora extendemos el segmento q hacia su izquierda por p (usando el arco AE centrado en D ) y dibujamos un semicírculo con los puntos finales A y B con el nuevo segmento p + q como su diámetro. Luego erigimos una línea perpendicular al diámetro en D que interseca el semicírculo en C. Debido al teorema de Thales, C y el diámetro forman un triángulo rectángulo con el segmento de línea DC como su altura, por lo tanto DC es el lado de un cuadrado con el área del rectángulo. El método también permite la construcción de raíces cuadradas (ver número construible ), ya que comenzando con un rectángulo que tiene un ancho de 1, el cuadrado construido tendrá una longitud de lado que es igual a la raíz cuadrada de la longitud del rectángulo. ^[1]

Otra aplicación de este teorema proporciona una prueba geométrica de la desigualdad AM-GM en el caso de dos números. Para los números p y q se construye un semicírculo con diámetro p + q . Ahora la altura representa la media geométrica y el radio la media aritmética de los dos números. Como la altura siempre es menor o igual que el radio, esto produce la desigualdad. ^[2]

Teorema de la media geométrica como caso especial del teorema de la cuerda :
${\displaystyle |CD||DE|=|AD||DB|\Leftrightarrow h^{2}=pq}$

El teorema también puede considerarse como un caso especial del teorema de las cuerdas que se cruzan para un círculo, ya que el inverso del teorema de Tales asegura que la hipotenusa del triángulo rectángulo es el diámetro de su círculo circunscrito . ^[1]

La afirmación inversa también es cierta: cualquier triángulo cuya altura sea igual a la media geométrica de los dos segmentos de recta que lo forman es un triángulo rectángulo.

Historia

El teorema se atribuye generalmente a Euclides (ca. 360–280 a. C.), quien lo enunció como corolario de la proposición 8 en el libro VI de sus Elementos . En la proposición 14 del libro II, Euclides da un método para elevar al cuadrado un rectángulo, que coincide esencialmente con el método dado aquí. Sin embargo, Euclides proporciona una prueba ligeramente más complicada de la corrección de la construcción en lugar de confiar en el teorema de la media geométrica. ^{[1] [3]}

Prueba

Basado en la similitud

${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ADC\sim \triangle DBC}$

Prueba del teorema :

Los triángulos △ ADC , △ BCD son semejantes , ya que:

• Consideremos los triángulos △ ABC , △ ACD ; aquí tenemos por tanto por el postulado AA $${\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ },\quad \angle BAC=\angle CAD;}$$ $${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD.}$$
• Además, consideremos los triángulos △ ABC , △ BCD ; aquí tenemos por tanto por el postulado AA $${\displaystyle \angle ACB=\angle BDC=90^{\circ },\quad \angle ABC=\angle CBD;}$$ $${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle BCD.}$$

Por lo tanto, ambos triángulos △ ACD , △ BCD son semejantes a △ ABC y a ellos mismos, es decir $${\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD.}$$

Debido a la similitud obtenemos la siguiente igualdad de razones y su reordenamiento algebraico produce el teorema: ^[1]

${\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}$

Prueba de recíproco:

Para el caso inverso, tenemos un triángulo △ ABC en el que se cumple y necesitamos demostrar que el ángulo en C es un ángulo recto. Ahora, debido a que también tenemos Junto con los triángulos △ ADC , △ BDC tienen un ángulo de igual tamaño y tienen pares de catetos correspondientes con la misma razón. Esto significa que los triángulos son similares, lo que da como resultado: ${\displaystyle h^{2}=pq}$ ${\displaystyle h^{2}=pq}$ ${\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}.}$ ${\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ACB&=\angle ACD+\angle DCB\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)\\&=90^{\circ }\end{aligned}}}$

Basado en el teorema de Pitágoras

Demostración con el teorema de Pitágoras

En el marco del teorema de la media geométrica hay tres triángulos rectángulos △ ABC , △ ADC y △ DBC en los que el teorema de Pitágoras da como resultado:

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-q^{2}\\h^{2}&=b^{2}-p^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}}$

Sumando las dos primeras ecuaciones y luego utilizando la tercera obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}2h^{2}&=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=c^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=2pq\\\therefore \ h^{2}&=pq.\end{aligned}}}$

Lo que finalmente produce la fórmula del teorema de la media geométrica. ^[4]

Basado en disección y reordenamiento

Al diseccionar el triángulo rectángulo a lo largo de su altura h se obtienen dos triángulos semejantes, que pueden ampliarse y organizarse de dos maneras alternativas para formar un triángulo rectángulo más grande con lados perpendiculares de longitudes p + h y q + h . Una de estas configuraciones requiere un cuadrado de área h ² para completarse, la otra un rectángulo de área pq . Dado que ambas configuraciones dan como resultado el mismo triángulo, las áreas del cuadrado y del rectángulo deben ser idénticas.

Basado en mapeos de cizallamiento

El cuadrado de la altitud se puede transformar en un rectángulo de área igual con lados p y q con la ayuda de tres aplicaciones de corte (las aplicaciones de corte preservan el área):

Mapeos de cizallamiento con sus líneas fijas asociadas (punteadas), comenzando con el cuadrado original como preimagen, cada paralelogramo muestra la imagen de un mapeo de cizallamiento de la figura a su izquierda

Referencias

1. *Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie . Springer, 2009, ISBN  9783834808561 , págs. 76-77 (alemán, copia en línea , pág. 76, en Google Books )
2. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Iconos de las matemáticas: una exploración de veinte imágenes clave . MAA 2011, ISBN 9780883853528 , pp. 31–32 ( copia en línea , p. 31, en Google Books ) 
3. Euclides : Elementos , libro II – prop. 14, libro VI – prop. 8, (copia en línea)
4. Ilka Agricola , Thomas Friedrich: Geometría elemental . AMS 2008, ISBN 9780821843475 , pág. 25 ( copia en línea , pág. 25, en Google Books ) 

Enlaces externos

• Media geométrica en el punto de corte del nudo