En probabilidad y estadística , un spread que preserva la media ( MPS ) [1] es un cambio de una distribución de probabilidad A a otra distribución de probabilidad B, donde B se forma al dispersar una o más porciones de la función de densidad de probabilidad o la función de masa de probabilidad de A mientras se deja la media (el valor esperado ) sin cambios. Como tal, el concepto de spreads que preservan la media proporciona un ordenamiento estocástico de apuestas de media igual (distribuciones de probabilidad) de acuerdo con su grado de riesgo ; este ordenamiento es parcial , lo que significa que de dos apuestas de media igual, no es necesariamente cierto que una sea un spread que preserva la media de la otra. Se dice que la distribución A es una contracción que preserva la media de B si B es un spread que preserva la media de A.
La clasificación de apuestas por diferenciales que preservan la media es un caso especial de clasificación de apuestas por dominancia estocástica de segundo orden , es decir, el caso especial de medias iguales: si B es un diferencial que preserva la media de A, entonces A es estocásticamente dominante de segundo orden sobre B; y lo inverso se cumple si A y B tienen medias iguales.
Si B es una dispersión que preserva la media de A, entonces B tiene una varianza mayor que A y los valores esperados de A y B son idénticos; pero lo inverso en general no es cierto, porque la varianza es un ordenamiento completo mientras que el ordenamiento por dispersiones que preservan la media es solo parcial.
Este ejemplo muestra que para tener una dispersión que preserve la media no es necesario que toda o la mayor parte de la masa de probabilidad se aleje de la media. [2] Sea A con probabilidades iguales en cada resultado , con para y para ; y sea B con probabilidades iguales en cada resultado , con , para , y . Aquí B se ha construido a partir de A moviendo un trozo de probabilidad del 1% de 198 a 100 y moviendo 49 trozos de probabilidad de 198 a 200, y luego moviendo un trozo de probabilidad de 202 a 300 y moviendo 49 trozos de probabilidad de 202 a 200. Esta secuencia de dos dispersiones que preservan la media es en sí misma una dispersión que preserva la media, a pesar del hecho de que el 98% de la masa de probabilidad se ha movido a la media (200).
Sean y las variables aleatorias asociadas con las apuestas A y B. Entonces B es una dispersión que preserva la media de A si y solo si para alguna variable aleatoria que tiene para todos los valores de . Aquí significa " tiene la misma distribución que " (es decir, "tiene la misma distribución que").
Los spreads que preservan la media también pueden definirse en términos de las funciones de distribución acumulativa y de A y B. Si A y B tienen medias iguales, B es un spread que preserva la media de A si y solo si el área bajo desde menos infinito hasta es menor o igual que aquella bajo desde menos infinito hasta para todos los números reales , con estricta desigualdad en algún .
Ambas definiciones matemáticas replican las del dominio estocástico de segundo orden para el caso de medias iguales.
Si B es una distribución de A que preserva la media, entonces A será la preferida por todos los maximizadores de la utilidad esperada que tengan una utilidad cóncava. La inversa también es válida: si A y B tienen medias iguales y A es la preferida por todos los maximizadores de la utilidad esperada que tengan una utilidad cóncava, entonces B es una distribución de A que preserva la media.
