Matriz modal

En álgebra lineal , la matriz modal se utiliza en el proceso de diagonalización que involucra valores propios y vectores propios . ^[1]

En concreto, la matriz modal de la matriz es la matriz n × n formada con los vectores propios de como columnas en . Se utiliza en la transformación de similitud ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

donde es una matriz diagonal n × n con los valores propios de en la diagonal principal de y ceros en el resto. La matriz se llama matriz espectral para . Los valores propios deben aparecer de izquierda a derecha, de arriba hacia abajo en el mismo orden en que sus vectores propios correspondientes están dispuestos de izquierda a derecha en . ^[2] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplo

La matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}}}$

tiene valores propios y vectores propios correspondientes

${\displaystyle \lambda _{1}=-1,\quad \,\mathbf {b} _{1}=\left(-3,6,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).}$

Una matriz diagonal , similar a es ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.}$

Una posible elección para una matriz invertible tal que es ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.}$^[3]

Nótese que, dado que los vectores propios en sí mismos no son únicos, y dado que las columnas de ambos y pueden intercambiarse, se deduce que ambos y no son únicos. ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D}$

Matriz modal generalizada

Sea una matriz n × n . Una matriz modal generalizada para es una matriz n × n cuyas columnas, consideradas como vectores, forman una base canónica para y aparecen en según las siguientes reglas: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

• Todas las cadenas de Jordan que constan de un vector (es decir, un vector de longitud) aparecen en las primeras columnas de . ${\displaystyle M}$
• Todos los vectores de una cadena aparecen juntos en columnas adyacentes de . ${\displaystyle M}$
• Cada cadena aparece en orden de rango creciente (es decir, el vector propio generalizado de rango 1 aparece antes del vector propio generalizado de rango 2 de la misma cadena, que aparece antes del vector propio generalizado de rango 3 de la misma cadena, etc.). ^[5] ${\displaystyle M}$

Se puede demostrar que

donde es una matriz en forma normal de Jordan . Al premultiplicar por , obtenemos ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M^{-1}}$

Nótese que al calcular estas matrices, la ecuación ( 1 ) es la más fácil de verificar de las dos, ya que no requiere invertir una matriz. ^[6]

Ejemplo

Este ejemplo ilustra una matriz modal generalizada con cuatro cadenas de Jordan. Desafortunadamente, es un poco difícil construir un ejemplo interesante de orden bajo. ^[7] La ​​matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}}$

tiene un único valor propio con multiplicidad algebraica . Una base canónica para consistirá en un vector propio generalizado linealmente independiente de rango 3 (rango del vector propio generalizado; véase vector propio generalizado ), dos de rango 2 y cuatro de rango 1; o equivalentemente, una cadena de tres vectores , una cadena de dos vectores y dos cadenas de un vector , . ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ ${\displaystyle \mu _{1}=7}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {z} _{1}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {w} _{1}\right\}}$

Una matriz "casi diagonal" en forma normal de Jordan , similar a se obtiene de la siguiente manera: ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},}$

donde es una matriz modal generalizada para , las columnas de son una base canónica para , y . ^[8] Nótese que dado que los vectores propios generalizados en sí mismos no son únicos, y dado que algunas de las columnas de ambos y pueden intercambiarse, se deduce que ambos y no son únicos. ^[9] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AM=MJ}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$

Notas

1. Bronson (1970, págs. 179-183)
2. Bronson (1970, pág. 181)
3. Beauregard y Fraleigh (1973, págs.271, 272)
4. Bronson (1970, pág. 181)
5. Bronson (1970, pág. 205)
6. Bronson (1970, págs. 206-207)
7. Nering (1970, págs. 122, 123)
8. Bronson (1970, págs. 208, 209)
9. Bronson (1970, pág. 206)

Referencias

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Bronson, Richard (1970), Métodos matriciales: una introducción , Nueva York: Academic Press , LCCN  70097490
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646