Matriz del sistema de Rosenbrock

En matemáticas aplicadas, la matriz del sistema de Rosenbrock o matriz del sistema de Rosenbrock de un sistema lineal invariante en el tiempo es una representación útil que une la representación en el espacio de estados y la forma de matriz de función de transferencia . Fue propuesta en 1967 por Howard H. Rosenbrock . ^[1]

Definición

Considere el sistema dinámico

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du.}$

La matriz del sistema de Rosenbrock está dada por

${\displaystyle P(s)={\begin{pmatrix}sI-A&-B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

En el trabajo original de Rosenbrock, se permite que la matriz constante sea un polinomio en . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle s}$

La función de transferencia entre la entrada y la salida está dada por ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle g_{ij}={\frac {\begin{vmatrix}sI-A&-b_{i}\\c_{j}&d_{ij}\end{vmatrix}}{|sI-A|}}}$

¿Dónde está la columna de y es la fila de ? ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle c_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle C}$

Basándose en esta representación, Rosenbrock desarrolló su versión de la prueba PBH.

Forma corta

Para fines computacionales, una forma corta de la matriz del sistema Rosenbrock es más apropiada ^[2] y está dada por

${\displaystyle P\sim {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

La forma corta de la matriz del sistema de Rosenbrock se ha utilizado ampliamente en métodos H-infinito en la teoría de control , donde también se la conoce como forma empaquetada; consulte el comando pck en MATLAB. ^[3] Se puede encontrar una interpretación de la matriz del sistema de Rosenbrock como una transformación fraccionaria lineal en. ^[4]

Una de las primeras aplicaciones de la forma de Rosenbrock fue el desarrollo de un método computacional eficiente para la descomposición de Kalman , que se basa en el método del elemento pivote. Una variante del método de Rosenbrock se implementa en el comando minreal de Matlab ^[5] y GNU Octave .

Referencias

1. Rosenbrock, HH (1967). "Transformación de ecuaciones de sistemas lineales constantes". Proc. IEE . 114 : 541–544.
2. Rosenbrock, HH (1970). Teoría del espacio de estados y multivariable . Nelson.
3. "Mu Analysis and Synthesis Toolbox" (Caja de herramientas de análisis y síntesis de Mu) . Consultado el 25 de agosto de 2014 .
4. Zhou, Kemin; Doyle, John C.; Glover, Keith (1995). Control robusto y óptimo . Prentice Hall.
5. De Schutter, B. (2000). "Realización mínima del espacio de estados en la teoría de sistemas lineales: una visión general". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 121 (1–2): 331–354. Bibcode :2000JCoAM.121..331S. doi : 10.1016/S0377-0427(00)00341-1 .