Matriz de Petersen

La matriz de Petersen es una descripción completa de los sistemas de reacciones bioquímicas que se utilizan para modelar reactores para el control de la contaminación ( descomposición artificial ) así como en sistemas ambientales . Tiene tantas columnas como el número de componentes relevantes involucrados ( químicos , contaminantes , biomasas , gases ) y tantas filas como el número de procesos involucrados (reacciones bioquímicas y degradación física). Se agrega una columna más para albergar la descripción de la cinética de cada transformación ( ecuación de velocidad ). ^{[1] [2]}

Estructura de la matriz

El principio de conservación de la masa para cada proceso se expresa en las filas de la matriz. Si se incluyen todos los componentes (no se omite ninguno), entonces el principio de conservación de la masa establece que, para cada proceso:

${\displaystyle {\text{for all process }}i:\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\dot {\rho _{j}}}=0\;,}$

donde es la tasa de densidad de cada componente. Esto también puede verse como la relación estequiométrica del proceso . ${\displaystyle {\dot {\rho _{j}}}}$

Además, la tasa de variación de cada componente para el efecto simultáneo de todos los procesos se puede evaluar fácilmente sumando las columnas:

${\displaystyle {\text{for all component }}j:{\frac {\partial C_{j}}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}r_{i}\;,}$

¿Dónde están las velocidades de reacción de cada proceso? ${\displaystyle r_{i}}$

Ejemplo

Un sistema de reacción de tercer orden seguida de una reacción enzimática de Michaelis-Menten .

${\displaystyle {\ce {{A}+ 2B -> S}}}$

${\displaystyle {\ce {{E}+S<=>[k_{f}][k_{r}]ES->[k_{\mathrm {cat} }]{E}+P}}}$

donde los reactivos A y B se combinan formando el sustrato S (S = AB ₂ ), que con ayuda de la enzima E se transforma en el producto P. Las tasas de producción para cada sustancia son:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}&=-k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\[6pt]{\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}&=-2k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\[6pt]{\frac {d[{\ce {S}}]}{dt}}&=k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {E}}]}{dt}}&=-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]+k_{\ce {cat}}[{\ce {E}}S]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {E}}S]}{dt}}&=k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]-k_{r}[{\ce {ES}}]-k_{\ce {cat}}[{\ce {ES}}]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {P}}]}{dt}}&=k_{\ce {cat}}[{\ce {E}}S]\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la matriz de Petersen se lee como

La matriz de Petersen se puede utilizar para escribir la ecuación de velocidad del sistema.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}[{\ce {A}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {B}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {S}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {E}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {ES}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {P}}]\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\-2&0&0&0\\+1&-1&+1&0\\0&-1&+1&+1\\0&+1&-1&-1\\0&0&0&+1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]\\k_{r}[{\ce {ES}}]\\k_{\ce {cat}}[{\ce {ES}}]\end{pmatrix}}}$

Referencias

1. Russell, David L. (2006). Tratamiento práctico de aguas residuales. Hoboken, NJ: Wiley. p. 288. ISBN 978-0-471-78044-1.
2. Fang, editor, Herbert HP (2010). Tecnología anaeróbica ambiental: aplicaciones y nuevos desarrollos . Londres: Imperial College Press. ISBN 9781848165427. {{cite book}}: |first=tiene nombre genérico ( ayuda )Mantenimiento de CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )