Matriz de momentos

En matemáticas , una matriz de momento es una matriz cuadrada simétrica especial cuyas filas y columnas están indexadas por monomios . Los valores de la matriz dependen únicamente del producto de los monomios indexadores (cf. Matrices de Hankel ).

Las matrices de momento juegan un papel importante en el ajuste polinomial , la optimización polinomial (ya que las matrices de momento semidefinidas positivas corresponden a polinomios que son sumas de cuadrados ) ^[1] y la econometría . ^[2]

Aplicación en regresión

Un modelo de regresión lineal múltiple se puede escribir como

${\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+\dots \beta _{k}x_{k}+u}$

donde es la variable dependiente, son las variables independientes, es el error y son los coeficientes desconocidos que se deben estimar. Dadas las observaciones , tenemos un sistema de ecuaciones lineales que se pueden expresar en notación matricial. ^[3] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1}\dots ,\beta _{k}}$ ${\displaystyle \left\{y_{i},x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{ik}\right\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&x_{11}&x_{12}&\dots &x_{1k}\\1&x_{21}&x_{22}&\dots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n1}&x_{n2}&\dots &x_{nk}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}}$

o

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {u} }$

donde y son cada uno un vector de dimensión , es la matriz de diseño de orden , y es un vector de dimensión . Bajo los supuestos de Gauss-Markov , el mejor estimador lineal insesgado de es el estimador lineal de mínimos cuadrados , que involucra las dos matrices de momento y se define como ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle N\times (k+1)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle (k+1)\times 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =\left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}n&\sum x_{i1}&\sum x_{i2}&\dots &\sum x_{ik}\\\sum x_{i1}&\sum x_{i1}^{2}&\sum x_{i1}x_{i2}&\dots &\sum x_{i1}x_{ik}\\\sum x_{i2}&\sum x_{i1}x_{i2}&\sum x_{i2}^{2}&\dots &\sum x_{i2}x_{ik}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum x_{ik}&\sum x_{i1}x_{ik}&\sum x_{i2}x_{ik}&\dots &\sum x_{ik}^{2}\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}\sum y_{i}\\\sum x_{i1}y_{i}\\\vdots \\\sum x_{ik}y_{i}\end{bmatrix}}}$

donde es una matriz normal cuadrada de dimensión , y es un vector de dimensión . ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} }$ ${\displaystyle (k+1)\times (k+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$ ${\displaystyle (k+1)\times 1}$

Véase también

• Matriz de diseño
• Matriz gramiana
• Matriz de proyección

Referencias

1. Lasserre, Jean-Bernard, 1953- (2010). Momentos, polinomios positivos y sus aplicaciones. World Scientific (Firm). Londres: Imperial College Press. ISBN 978-1-84816-446-8.OCLC 624365972  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
2. Goldberger, Arthur S. (1964). "Regresión lineal clásica". Teoría econométrica . Nueva York: John Wiley & Sons. pp. 156–212. ISBN 0-471-31101-4.
3. Huang, David S. (1970). Regresión y métodos econométricos. Nueva York: John Wiley & Sons. pp. 52–65. ISBN 0-471-41754-8.

Enlaces externos

• "Matriz de momentos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]