Matriz estable de Hurwitz

Matriz cuyos valores propios tienen parte real negativa

En matemáticas , una matriz de Hurwitz estable , ^[1] o más comúnmente simplemente matriz de Hurwitz , ^[2] es una matriz cuadrada cuyos valores propios tienen todos una parte real estrictamente negativa. Algunos autores también utilizan el término matriz de estabilidad . ^[2] Tales matrices juegan un papel importante en la teoría de control .

Definición

Una matriz cuadrada se denomina matriz de Hurwitz si cada valor propio de tiene una parte real estrictamente negativa , es decir, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Re} [\lambda _{i}]<0\,}$

para cada valor propio . también se llama matriz estable , porque entonces la ecuación diferencial ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

es asintóticamente estable , es decir, como ${\displaystyle x(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty .}$

Si es una función de transferencia (con valores matriciales) , entonces se llama Hurwitz si los polos de todos los elementos de tienen una parte real negativa. Nótese que no es necesario que para un argumento específico sea una matriz de Hurwitz, ni siquiera necesita ser cuadrada. La conexión es que si es una matriz de Hurwitz, entonces el sistema dinámico ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(s),}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

tiene una función de transferencia de Hurwitz.

Cualquier punto fijo hiperbólico (o punto de equilibrio ) de un sistema dinámico continuo es localmente asintóticamente estable si y sólo si el jacobiano del sistema dinámico es estable según el método de Hurwitz en el punto fijo.

La matriz de estabilidad de Hurwitz es una parte crucial de la teoría de control . Un sistema es estable si su matriz de control es una matriz de Hurwitz. Los componentes reales negativos de los valores propios de la matriz representan una retroalimentación negativa . De manera similar, un sistema es inherentemente inestable si alguno de los valores propios tiene componentes reales positivos, que representan una retroalimentación positiva .

Véase también

• Matriz M
• Teorema de Perron-Frobenius , que muestra que cualquier matriz de Hurwitz debe tener al menos una entrada negativa
• Matriz Z

Referencias

1. Duan, Guang-Ren; Patton, Ron J. (1998). "Una nota sobre la estabilidad de matrices de Hurwitz". Automatica . 34 (4): 509–511. doi :10.1016/S0005-1098(97)00217-3.
2. Khalil, Hassan K. (1996). Sistemas no lineales (Segunda ed.). Prentice Hall . pág. 123.

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Enlaces externos

• "Matriz de Hurwitz". PlanetMath .