Matriz de sensores

Grupo de sensores utilizados para aumentar la ganancia o la dimensionalidad de un solo sensor

Un conjunto de sensores es un grupo de sensores, generalmente desplegados en un patrón geométrico determinado, que se utiliza para recopilar y procesar señales electromagnéticas o acústicas. La ventaja de utilizar un conjunto de sensores en lugar de un solo sensor reside en el hecho de que un conjunto añade nuevas dimensiones a la observación, lo que ayuda a estimar más parámetros y mejora el rendimiento de la estimación. Por ejemplo, un conjunto de elementos de antena de radio utilizados para la formación de haces puede aumentar la ganancia de la antena en la dirección de la señal mientras disminuye la ganancia en otras direcciones, es decir, aumentar la relación señal-ruido ( SNR ) amplificando la señal de forma coherente. Otro ejemplo de aplicación de un conjunto de sensores es estimar la dirección de llegada de las ondas electromagnéticas incidentes. El método de procesamiento relacionado se denomina procesamiento de señales de conjunto . Un tercer ejemplo incluye conjuntos de sensores químicos , que utilizan múltiples sensores químicos para la detección de huellas dactilares en mezclas complejas o entornos de detección. Los ejemplos de aplicación del procesamiento de señales de conjunto incluyen radar / sónar , comunicaciones inalámbricas, sismología , monitorización del estado de las máquinas, diagnóstico de fallos en observaciones astronómicas , etc.

Mediante el procesamiento de señales de matriz, se pueden estimar y revelar las propiedades temporales y espaciales (o parámetros) de las señales incidentes interferidas por el ruido y ocultas en los datos recopilados por la matriz de sensores. Esto se conoce como estimación de parámetros .

Figura 1: Matriz lineal y ángulo de incidencia

Formación de haz en el dominio del tiempo, onda plana

La figura 1 ilustra una matriz lineal uniforme (ULA) de seis elementos. En este ejemplo, se supone que la matriz de sensores se encuentra en el campo lejano de una fuente de señal, de modo que se la puede tratar como una onda plana.

La estimación de parámetros aprovecha el hecho de que la distancia desde la fuente hasta cada antena del conjunto es diferente, lo que significa que los datos de entrada en cada antena serán réplicas desfasadas entre sí. La ecuación (1) muestra el cálculo del tiempo adicional que lleva llegar a cada antena del conjunto en relación con la primera, donde c es la velocidad de la onda .

${\displaystyle \Delta t_{i}={\frac {(i-1)d\cos \theta }{c}},i=1,2,...,M\ \ (1)}$

Cada sensor está asociado con un retardo diferente. Los retardos son pequeños pero no triviales. En el dominio de la frecuencia, se muestran como un cambio de fase entre las señales recibidas por los sensores. Los retardos están estrechamente relacionados con el ángulo de incidencia y la geometría de la matriz de sensores. Dada la geometría de la matriz, los retardos o las diferencias de fase se pueden utilizar para estimar el ángulo de incidencia. La ecuación (1) es la base matemática detrás del procesamiento de señales de la matriz. Simplemente sumando las señales recibidas por los sensores y calculando el valor medio se obtiene el resultado.

${\displaystyle y={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{M}{\boldsymbol {x}}_{i}(t-\Delta t_{i})\ \ (2)}$.

Como las señales recibidas están desfasadas, este valor medio no proporciona una señal mejorada en comparación con la fuente original. Heurísticamente, si podemos encontrar retrasos de cada una de las señales recibidas y eliminarlos antes de la suma, el valor medio

${\displaystyle y={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{M}{\boldsymbol {x}}_{i}(t)\ \ (3)}$

dará como resultado una señal mejorada. El proceso de desplazamiento temporal de las señales utilizando un conjunto bien seleccionado de retardos para cada canal de la matriz de sensores de modo que la señal se añada de forma constructiva se denomina formación de haces . Además del enfoque de retardo y suma descrito anteriormente, existen varios enfoques basados ​​en el espectro (no paramétricos) y enfoques paramétricos que mejoran diversas métricas de rendimiento. Estos algoritmos de formación de haces se describen brevemente a continuación.

Diseño de matriz

Los conjuntos de sensores tienen diferentes diseños geométricos, incluidos los conjuntos lineales, circulares, planos, cilíndricos y esféricos. Hay conjuntos de sensores con una configuración de conjunto arbitraria, que requieren técnicas de procesamiento de señales más complejas para la estimación de parámetros. En el conjunto lineal uniforme (ULA), la fase de la señal entrante debe limitarse a para evitar ondas de rejilla. Esto significa que para el ángulo de llegada en el intervalo, el espaciamiento del sensor debe ser menor que la mitad de la longitud de onda . Sin embargo, el ancho del haz principal, es decir, la resolución o directividad del conjunto, está determinado por la longitud del conjunto en comparación con la longitud de onda. Para tener una resolución direccional decente, la longitud del conjunto debe ser varias veces mayor que la longitud de onda de radio. ${\displaystyle \omega \tau }$ ${\displaystyle \pm \pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ ${\displaystyle d\leq \lambda /2}$

Tipos de conjuntos de sensores

Conjunto de antenas

• Conjunto de antenas (electromagnéticas) , una disposición geométrica de elementos de antena con una relación deliberada entre sus corrientes, que forman una sola antena generalmente para lograr un patrón de radiación deseado.
• Matriz direccional , una matriz de antenas optimizada para la direccionalidad
• Matriz en fase : matriz de antenas en la que los cambios de fase (y amplitudes) aplicados a los elementos se modifican electrónicamente, generalmente para dirigir el patrón direccional del sistema de antena, sin el uso de partes móviles.
• Antena inteligente , un conjunto en fase en el que un procesador de señales calcula cambios de fase para optimizar la recepción y/o transmisión a un receptor sobre la marcha, como lo hacen las torres de telefonía celular.
• Matriz de antena digital : es una antena inteligente con formación de haz digital de múltiples canales , generalmente mediante el uso de FFT .
• Conjunto interferométrico de radiotelescopios o telescopios ópticos, utilizado para lograr alta resolución a través de correlación interferométrica.
• Conjunto de antenas Watson-Watt/Adcock , que utiliza la técnica Watson-Watt, mediante la cual se utilizan dos pares de antenas Adcock para realizar una comparación de amplitud en la señal entrante

Arreglos acústicos

• La matriz de micrófonos se utiliza en la medición acústica y la formación de haces.
• La matriz de altavoces se utiliza en la medición acústica y la formación de haces.

Otras matrices

• Conjunto de geófonos utilizado en sismología de reflexión
• El conjunto de sonares es un conjunto de hidrófonos que se utilizan en la obtención de imágenes submarinas.
• Sensores de imagen para cámaras digitales

Formación de haz por retardo y suma

Si se añade un retardo de tiempo a la señal grabada de cada micrófono que sea igual y opuesto al retardo causado por el tiempo de viaje adicional, se obtendrán señales que están perfectamente en fase entre sí. La suma de estas señales en fase dará como resultado una interferencia constructiva que amplificará la relación señal-ruido por la cantidad de antenas en el conjunto. Esto se conoce como formación de haz por retardo y suma. Para la estimación de la dirección de llegada (DOA), se pueden probar iterativamente los retardos de tiempo para todas las direcciones posibles. Si la estimación es incorrecta, la señal sufrirá interferencias destructivas, lo que dará como resultado una señal de salida disminuida, pero la estimación correcta dará como resultado la amplificación de la señal descrita anteriormente.

El problema es que, antes de estimar el ángulo de incidencia, ¿cómo podría ser posible conocer el retardo de tiempo que es "igual" y opuesto al retardo causado por el tiempo de viaje adicional? Es imposible. La solución es probar una serie de ángulos con una resolución suficientemente alta y calcular la señal de salida media resultante del conjunto utilizando la ecuación (3). El ángulo de prueba que maximiza la salida media es una estimación de DOA dada por el conformador de haz de retardo y suma. Agregar un retardo opuesto a las señales de entrada es equivalente a rotar físicamente el conjunto de sensores. Por lo tanto, también se conoce como dirección del haz . ${\displaystyle {\hat {\theta }}\in [0,\pi ]}$

Formación de haz basada en el espectro

La formación de haces con retardo y suma es un enfoque del dominio del tiempo. Es fácil de implementar, pero puede estimar mal la dirección de llegada (DOA). La solución a esto es un enfoque del dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier transforma la señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Esto convierte el retardo de tiempo entre sensores adyacentes en un cambio de fase. Por lo tanto, el vector de salida de la matriz en cualquier momento t se puede denotar como , donde representa la señal recibida por el primer sensor. Los algoritmos de formación de haces del dominio de la frecuencia utilizan la matriz de covarianza espacial, representada por . Esta matriz M por M lleva la información espacial y espectral de las señales entrantes. Suponiendo un ruido blanco gaussiano de media cero , el modelo básico de la matriz de covarianza espacial viene dado por ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=x_{1}(t){\begin{bmatrix}1&e^{-j\omega \Delta t}&\cdots &e^{-j\omega (M-1)\Delta t}\end{bmatrix}}^{T}}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}=E\{{\boldsymbol {x}}(t){\boldsymbol {x}}^{T}(t)\}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {V}}^{H}+\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}}\ \ (4)}$

donde es la varianza del ruido blanco, es la matriz identidad y es el vector de la variedad de la matriz con . Este modelo es de importancia central en los algoritmos de formación de haces en el dominio de la frecuencia. ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {v}}_{1}&\cdots &{\boldsymbol {v}}_{k}\end{bmatrix}}^{T}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{i}={\begin{bmatrix}1&e^{-j\omega \Delta t_{i}}&\cdots &e^{-j\omega (M-1)\Delta t_{i}}\end{bmatrix}}^{T}}$

A continuación se enumeran algunos enfoques de formación de haz basados ​​en el espectro.

Formador de haz convencional (Bartlett)

El conformador de haz Bartlett es una extensión natural del análisis espectral convencional ( espectrograma ) a la matriz de sensores. Su potencia espectral está representada por

${\displaystyle {\hat {P}}_{Bartlett}(\theta )={\boldsymbol {v}}^{H}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {v}}\ \ (5)}$.

El ángulo que maximiza esta potencia es una estimación del ángulo de llegada.

Formador de haz MVDR (Capon)

El conformador de haz de respuesta sin distorsión de varianza mínima, también conocido como algoritmo de conformado de haz Capon, ^[1] tiene una potencia dada por

${\displaystyle {\hat {P}}_{Capon}(\theta )={\frac {1}{{\boldsymbol {v}}^{H}{\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}\ \ (6)}$.

Aunque el conformador de haces MVDR/Capon puede lograr una mejor resolución que el enfoque convencional (Bartlett), este algoritmo tiene una mayor complejidad debido a la inversión de matriz de rango completo. Los avances técnicos en computación GPU han comenzado a reducir esta brecha y hacen posible la formación de haces Capon en tiempo real. ^[2]

Formador de haz de MÚSICA

El algoritmo de formación de haces MUSIC ( Multiple SIgnal Classification ) comienza con la descomposición de la matriz de covarianza, como se indica en la ecuación (4), tanto para la parte de señal como para la parte de ruido. La descomposición propia se representa mediante

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {U}}_{s}{\boldsymbol {\Lambda }}_{s}{\boldsymbol {U}}_{s}^{H}+{\boldsymbol {U}}_{n}{\boldsymbol {\Lambda }}_{n}{\boldsymbol {U}}_{n}^{H}\ \ (7)}$.

MUSIC utiliza el subespacio de ruido de la matriz de covarianza espacial en el denominador del algoritmo Capon

${\displaystyle {\hat {P}}_{MUSIC}(\theta )={\frac {1}{{\boldsymbol {v}}^{H}{\boldsymbol {U}}_{n}{\boldsymbol {U}}_{n}^{H}{\boldsymbol {v}}}}\ \ (8)}$.

Por lo tanto, el conformador de haz MUSIC también se conoce como conformador de haz subespacial. En comparación con el conformador de haz Capon, proporciona una estimación de DOA mucho mejor.

Formador de haz SAMV

El algoritmo de formación de haces SAMV es un algoritmo basado en la reconstrucción de señales dispersas que explota explícitamente la característica estadística invariante en el tiempo de la matriz de covarianza. Logra una superresolución y es robusto ante señales altamente correlacionadas.

Formadores de haz paramétricos

Una de las principales ventajas de los conformadores de haz basados ​​en espectro es una menor complejidad computacional, pero es posible que no brinden una estimación precisa del DOA si las señales están correlacionadas o son coherentes. Un enfoque alternativo son los conformadores de haz paramétricos, también conocidos como conformadores de haz de máxima verosimilitud (ML) . Un ejemplo de un método de máxima verosimilitud que se usa comúnmente en ingeniería es el método de mínimos cuadrados . En el enfoque de mínimos cuadrados, se usa una función de penalización cuadrática. Para obtener el valor mínimo (o error cuadrático mínimo) de la función de penalización cuadrática (o función objetivo ), tome su derivada (que es lineal), déjela igual a cero y resuelva un sistema de ecuaciones lineales.

En los conformadores de haz ML, la función de penalización cuadrática se utiliza para la matriz de covarianza espacial y el modelo de señal. Un ejemplo de la función de penalización del conformador de haz ML es

${\displaystyle L_{ML}(\theta )=\|{\hat {\boldsymbol {R}}}-{\boldsymbol {R}}\|_{F}^{2}=\|{\hat {\boldsymbol {R}}}-({\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {V}}^{H}+\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}})\|_{F}^{2}\ \ (9)}$,

donde es la norma de Frobenius. Se puede ver en la ecuación (4) que la función de penalización de la ecuación (9) se minimiza aproximando el modelo de señal a la matriz de covarianza de muestra lo más preciso posible. En otras palabras, el conformador de haz de máxima verosimilitud debe encontrar el DOA , la variable independiente de la matriz , de modo que la función de penalización en la ecuación (9) se minimice. En la práctica, la función de penalización puede verse diferente, dependiendo del modelo de señal y ruido. Por esta razón, hay dos categorías principales de conformadores de haz de máxima verosimilitud: conformadores de haz ML deterministas y conformadores de haz ML estocásticos, correspondientes a un modelo determinista y estocástico , respectivamente. ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$

Otra idea para cambiar la ecuación de penalización anterior es considerar la posibilidad de simplificar la minimización mediante la diferenciación de la función de penalización. Para simplificar el algoritmo de optimización , en algunos conformadores de haz ML se pueden utilizar operaciones logarítmicas y la función de densidad de probabilidad (PDF) de las observaciones.

El problema de optimización se resuelve hallando las raíces de la derivada de la función de penalización después de igualarla con cero. Debido a que la ecuación no es lineal, se suele emplear un enfoque de búsqueda numérica, como el método de Newton-Raphson . El método de Newton-Raphson es un método iterativo de búsqueda de raíces con la iteración

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\ \ (10)}$.

La búsqueda comienza a partir de una estimación inicial . Si se emplea el método de búsqueda de Newton-Raphson para minimizar la función de penalización de formación de haces, el formador de haces resultante se denomina formador de haces ML de Newton. A continuación se describen varios formadores de haces ML conocidos sin proporcionar más detalles debido a la complejidad de las expresiones. ${\displaystyle x_{0}}$

Formador de haz de máxima verosimilitud determinista

En el conformador de haz de máxima verosimilitud determinista ( DML ), el ruido se modela como un proceso aleatorio blanco gaussiano estacionario, mientras que la forma de onda de la señal es determinista (pero arbitraria) y desconocida.

Formador de haz de máxima verosimilitud estocástica

En el conformador de haz de máxima verosimilitud estocástica ( SML ), el ruido se modela como procesos aleatorios blancos gaussianos estacionarios (lo mismo que en DML), mientras que la forma de onda de la señal como procesos aleatorios gaussianos.

Método de estimación de dirección

El método de estimación de dirección ( MODE ) es un conformador de haz de máxima verosimilitud subespacial, al igual que MUSIC , es un conformador de haz basado en el espectro subespacial. La formación de haz ML subespacial se obtiene mediante la descomposición propia de la matriz de covarianza de la muestra.

Referencias

1. Capon, J. (1969). "Análisis de espectro de frecuencia-número de onda de alta resolución". Actas del IEEE . 57 (8): 1408–1418. doi :10.1109/PROC.1969.7278.
2. Asen, Jon Petter; Buskenes, Jo Inge; Nilsen, Carl-Inge Colombo; Austeng, Andreas; Holm, Sverre (2014). "Implementación de formación de haces de capón en una GPU para imágenes de ultrasonido cardíaco en tiempo real". IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control . 61 (1): 76–85. doi :10.1109/TUFFC.2014.6689777. PMID  24402897. S2CID  251750.

Lectura adicional

• Van Trees, Harry L. (2002). Teoría de detección, estimación y modulación. 4: Procesamiento óptimo de matrices . Nueva York, NY: Wiley. doi :10.1002/0471221104. ISBN. 9780471093909.
• H. Krim y M. Viberg, “Dos décadas de investigación en procesamiento de señales en matriz”, IEEE Transactions on Signal Processing Magazine, julio de 1996
• S. Haykin, Ed., “Procesamiento de señales de matriz”, Eaglewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, 1985
• SU Pillai, “Procesamiento de señales de matriz”, Nueva York: Springer-Verlag, 1989
• P. Stoica y R. Moses, “Introducción al análisis espectral”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, EE. UU., 1997. disponible para descargar.
• J. Li y P. Stoica, “Formación de haz adaptativa robusta”, John Wiley, 2006.
• J. Cadzow, “Ubicación de múltiples fuentes: el enfoque del subespacio de la señal”, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. 38, n.º 7, julio de 1990
• G. Bienvenu y L. Kopp, “Optimalidad del procesamiento de matrices de alta resolución utilizando el enfoque de sistemas propios”, IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Process, vol. ASSP-31, págs. 1234–1248, octubre de 1983
• I. Ziskind y M. Wax, “Localización de múltiples fuentes con máxima verosimilitud mediante proyección alternada”, IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Process, vol. ASSP-36, págs. 1553–1560, octubre de 1988
• B. Ottersten, M. Verberg, P. Stoica y A. Nehorai, “Técnicas de máxima verosimilitud exactas y de muestras grandes para la estimación y detección de parámetros en el procesamiento de matrices”, Radar Array Processing, Springer-Verlag, Berlín, págs. 99-151, 1993
• M. Viberg, B. Ottersten y T. Kailath, “Detección y estimación en conjuntos de sensores mediante ajuste de subespacio ponderado”, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. SP-39, págs. 2346–2449, noviembre de 1991
• Feder, M.; Weinstein, E. (abril de 1988). "Estimación de parámetros de señales superpuestas utilizando el algoritmo EM". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 36 (4): 477–489. doi :10.1109/29.1552.
• Y. Bresler y Macovski, “Estimación exacta de parámetros de máxima verosimilitud de señales exponenciales superpuestas en ruido”, IEEE Transactions on Acoustic, Speech and Signal Proceeding, vol ASSP-34, págs. 1081–1089, octubre de 1986
• RO Schmidt, “Nuevas herramientas matemáticas para la búsqueda de dirección y el análisis espectral”, Actas del 27.º Simposio Anual de la SPIE, San Diego, California, agosto de 1983