Masa efectiva (sistema resorte-masa)

Parámetro en problemas de física.

En un sistema real resorte-masa , el resorte tiene una masa no despreciable . Como no toda la longitud del resorte se mueve a la misma velocidad que la masa suspendida (por ejemplo, el punto completamente opuesto a la masa , en el otro extremo del resorte, no se mueve en absoluto), su energía cinética no es igual a . Como tal, no se puede simplemente sumar para determinar la frecuencia de oscilación, y la masa efectiva del resorte, se define como la masa que debe sumarse para predecir correctamente el comportamiento del sistema. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }}$ ${\displaystyle M}$

Resorte uniforme (homogéneo)

sistema vertical resorte-masa

La masa efectiva del resorte en un sistema resorte-masa cuando se utiliza un resorte pesado (no ideal) de densidad lineal uniforme es de la masa del resorte y es independiente de la dirección del sistema resorte-masa (es decir, horizontal, Los sistemas verticales y oblicuos tienen todos la misma masa efectiva). Esto se debe a que la aceleración externa no afecta el período de movimiento alrededor del punto de equilibrio. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

La masa efectiva del resorte se puede determinar encontrando su energía cinética. Para un elemento de masa diferencial del resorte en una posición (variable ficticia) que se mueve con una velocidad , su energía cinética es: ${\displaystyle \mathrm {d} m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u(s)}$

${\displaystyle \mathrm {d} K={\frac {1}{2}}\mathrm {d} m\,u^{2}}$

Para encontrar la energía cinética total del resorte, es necesario sumar la energía cinética de todos los elementos de masa y requiere la siguiente integral :

${\displaystyle K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m}$

Si se supone un estiramiento homogéneo, la distribución de masa del resorte es uniforme, donde es la longitud del resorte en el momento de medir la velocidad. Por eso, ${\displaystyle \mathrm {d} m={\frac {m}{y}}\mathrm {d} s}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle K=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\left({\frac {m}{y}}\right)\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}u^{2}\mathrm {d} s}$

La velocidad de cada elemento de masa del resorte es directamente proporcional a la longitud desde la posición donde está sujeto (si está cerca del bloque, entonces más velocidad, y si está cerca del techo, entonces menos velocidad), es decir , de donde se sigue: ${\displaystyle u(s)={\frac {s}{y}}v}$

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\int _{0}^{y}s^{2}\,\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\left[{\frac {s^{3}}{3}}\right]_{0}^{y}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}}$

En comparación con la fórmula de energía cinética original esperada, la masa efectiva del resorte en este caso es . Este resultado se conoce como valor de Rayleigh , en honor a Lord Rayleigh . ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2},}$ ${\displaystyle {\frac {m}{3}}}$

Para encontrar la energía potencial gravitacional del resorte, se sigue un procedimiento similar:

${\displaystyle U=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,gs}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {m}{y}}gs\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =mg\,{\frac {1}{y}}\int _{0}^{y}s\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =mg\,{\frac {1}{y}}\left[{\frac {s^{2}}{2}}\right]_{0}^{y}}$

${\displaystyle ={\frac {m}{2}}gy}$

Usando este resultado, la energía total del sistema se puede escribir en términos del desplazamiento desde la posición no estirada del resorte (tomando la dirección hacia arriba como positiva, ignorando los términos potenciales constantes y estableciendo el origen de la energía potencial en ): ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}+{\frac {1}{2}}Mv^{2}+{\frac {1}{2}}ky^{2}+{\frac {1}{2}}mgy+Mgy}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(M+{\frac {m}{3}}\right)v^{2}+{\frac {1}{2}}ky^{2}+\left(M+{\frac {m}{2}}\right)gy}$

Tenga en cuenta que aquí está la aceleración de la gravedad a lo largo del resorte. Por derivación de la ecuación con respecto al tiempo, la ecuación de movimiento es: ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-ky-\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}$

El punto de equilibrio se puede encontrar haciendo que la aceleración sea cero: ${\displaystyle y_{\mathrm {eq} }}$

${\displaystyle y_{\mathrm {eq} }=-{\frac {\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}{k}}}$

Definiendo , la ecuación de movimiento queda: ${\displaystyle {\bar {y}}=y-y_{\mathrm {eq} }}$

${\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-k{\bar {y}}=-k(y-y_{\mathrm {eq} })}$

Esta es la ecuación para un oscilador armónico simple con frecuencia angular:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {{\frac {k}{M+{\frac {m}{3}}}}\,}}}$

Por tanto, tiene una frecuencia angular menor que en el resorte ideal . Además, su período viene dado por:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {{\frac {M+{\frac {m}{3}}}{k}}\,}}}$

Que es más grande que el resorte ideal. Ambas fórmulas reducen al caso ideal en el límite . ${\displaystyle {\frac {m}{M}}\to 0}$

Entonces, la masa efectiva del resorte sumada a la masa de la carga nos da la "masa total efectiva" del sistema que debe usarse en la fórmula estándar para determinar el período de oscilación. ${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

Finalmente, la solución al problema del valor inicial :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\ddot {y}}&=&-\omega ^{2}(y-y_{\mathrm {eq} })\\{\dot {y}}(0)&=&{\dot {y}}_{0}\\y(0)&=&y_{0}\end{matrix}}\right.}$

Es dado por:

${\displaystyle y(t)=(y_{0}-y_{\text{eq}})\cos(\omega t)+{\frac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\sin(\omega t)+y_{\text{eq}}}$

Que es un movimiento armónico simple.

Caso general

Como se vio arriba, la masa efectiva de un resorte no depende de factores "externos" como la aceleración de la gravedad a lo largo de él. De hecho, para un resorte pesado no uniforme, la masa efectiva depende únicamente de su densidad lineal a lo largo de su longitud: ${\displaystyle \lambda (s)}$

${\displaystyle K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\!(s)\,\lambda (s)\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\lambda (s)\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)v^{2}}$

Entonces la masa efectiva de un resorte es:

${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\,\mathrm {d} s}$

Este resultado también muestra que , ocurre en el caso de un resorte no físico cuya masa se encuentra puramente en el extremo más alejado del soporte. ${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }\leqslant m}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}$

Se pueden considerar tres casos especiales:

• ${\displaystyle \lambda (s)=0}$es el caso idealizado donde el resorte no tiene masa, y . ${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m=0}$
• ${\displaystyle \lambda (s)={\frac {m}{y}}}$es el caso homogéneo (resorte uniforme) donde el valor de Rayleigh aparece en la ecuación, es decir, . ${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {m}{3}}}$
• ${\displaystyle \lambda (s)=m\,\delta (s-y)}$, donde es la función delta de Dirac , es el caso extremo cuando toda la masa está ubicada en , lo que resulta en . ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle s=y}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}$

Para encontrar el lagrangiano correspondiente, hay que encontrar previamente la energía gravitacional potencial del resorte:

${\displaystyle U=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,g\,s}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}\lambda (s)\,g\,s\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =\left(\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y}$

Debido a la monotonicidad de la integral, se deduce que: ${\displaystyle 0\leqslant m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}\lambda (s)\;\mathrm {d} s=m}$

Siendo el lagrangiano: ${\displaystyle {\mathcal {L}}(y,{\dot {y}})={\frac {1}{2}}\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right){\dot {y}}^{2}-{\frac {1}{2}}ky^{2}-\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y}$

verdadera primavera

Los cálculos anteriores suponen que el coeficiente de rigidez del resorte no depende de su longitud. Sin embargo, este no es el caso de los resortes reales. Para valores pequeños de , el desplazamiento no es tan grande como para causar deformación elástica . De hecho , la masa efectiva es . Jun-ichi Ueda y Yoshiro Sadamoto han descubierto ^[1] que a medida que aumenta más allá de , la masa efectiva de un resorte en un sistema vertical resorte-masa se vuelve más pequeña que el valor de Rayleigh y finalmente alcanza valores negativos en aproximadamente . Este comportamiento inesperado de la masa efectiva se puede explicar en términos del efecto secundario elástico (que es que el resorte no vuelve a su longitud original después de que se retira la carga). ${\displaystyle {\frac {M}{m}}}$ ${\displaystyle {\frac {M}{m}}\ll 1}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {4}{\pi ^{2}}}m}$ ${\displaystyle {\frac {M}{m}}}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle {\frac {m}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {M}{m}}\approx 38}$

Comparación con el péndulo

Considere la ecuación diferencial del péndulo:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\omega _{0}}^{2}\sin \theta =0}$

¿Dónde está la frecuencia natural de las oscilaciones (y la frecuencia angular para pequeñas oscilaciones)? El parámetro representa en un péndulo ideal y en un péndulo compuesto, donde es la longitud del péndulo, es la masa total del sistema, es la distancia desde el punto de pivote (el punto del que está suspendido el péndulo) y es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el pivote. ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}}$ ${\displaystyle {\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle I_{O}}$

Considere un sistema formado por una varilla homogénea que se balancea desde un extremo y que tiene un peso fijo en el otro extremo. Sean la longitud de la varilla, la masa de la varilla y la masa de la pesa. La masa total del sistema es . Para averiguarlo hay que resolver (ésta sería una ecuación integral en el caso general, pero se simplifica a esta en el caso homogéneo), cuya solución viene dada por . El momento de inercia del sistema es la suma de los dos momentos de inercia, . Así la expresión se puede simplificar: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }r_{\mathrm {CM} }=m_{\mathrm {rod} }(\ell -r_{\mathrm {CM} })+m_{\mathrm {bob} }(\ell -r_{\mathrm {CM} })}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+2m_{\mathrm {rod} }}}\ell }$ ${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {(m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })g\,{\frac {m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+2m_{\mathrm {rod} }}}\ell }{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {(m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })^{2}}{(m_{\mathrm {bob} }+2m_{\mathrm {rod} })\left(m_{\mathrm {bob} }+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\right)}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}}{\frac {\left(1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}}{1+2{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}}}$

Observe cómo la expresión final no es una función de la masa de la pesa, y de la masa de la varilla, sino solo de su relación ,. Observe también que inicialmente tiene la misma estructura que el sistema resorte-masa: el producto del caso ideal y una corrección (con el valor de Rayleigh). Observe que para , el último término de corrección se puede aproximar mediante: ${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$ ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$ ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$

${\displaystyle {\frac {\left(1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}}{1+2{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}}\approx 1+\left({\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}-2\left({\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{3}+\cdots }$

Comparemos ambos resultados: Para el sistema resorte-masa:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {k}{m_{\mathrm {bob} }}} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {spring} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}}$

Para el péndulo:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {g}{\ell }} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}\underbrace {\frac {\left(1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}}{1+2{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Rest of the correction}}}$

Ver también

• Ejemplos de movimiento armónico simple (MAS) .
• masa reducida

Referencias

1. Ueda, Jun-Ichi; Sadamoto, Yoshiro (1997). "Una medida de la masa efectiva de resortes helicoidales". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 66 (2): 367–368. Código Bib : 1997JPSJ...66..367U. doi :10.1143/JPSJ.66.367.

enlaces externos

• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405121418180 Archivado el 16 de febrero de 2012 en Wayback Machine.
• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509031308350 Archivado el 16 de febrero de 2012 en Wayback Machine.
• https://web.archive.org/web/20110929231207/http://hk.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=6908120700201
• https://web.archive.org/web/20080201235717/http://www.goiit.com/posts/list/mechanics- Effective-mass-of-spring-40942.htm
• http://www.juen.ac.jp/scien/sadamoto_base/spring.html
• "La masa efectiva de un resorte oscilante" Am. J. Phys., 38, 98 (1970)
• "Masa efectiva de un resorte oscilante" The Physics Teacher, 45, 100 (2007)