Módulos de curvas algebraicas

En geometría algebraica , un espacio de módulos de curvas ( algebraicas ) es un espacio geométrico (normalmente un esquema o una pila algebraica ) cuyos puntos representan clases de isomorfismo de curvas algebraicas . Por tanto, se trata de un caso especial de un espacio de módulos . Dependiendo de las restricciones aplicadas a las clases de curvas algebraicas consideradas, el problema de módulos correspondiente y el espacio de módulos son diferentes. También se distingue entre espacios de módulos finos y gruesos para el mismo problema de módulos.

El problema más básico es el de los módulos de curvas completas suaves de un género determinado . En el campo de los números complejos, estos corresponden precisamente a superficies de Riemann compactas del género dado, para las cuales Bernhard Riemann demostró los primeros resultados sobre los espacios de módulos, en particular sus dimensiones ("número de parámetros de los que depende la estructura compleja").

Pilas de módulos de curvas estables

La pila de módulos clasifica familias de curvas proyectivas suaves, junto con sus isomorfismos. Cuando , esta pila puede compactarse añadiendo nuevos puntos "límite" que corresponden a curvas nodales estables (junto con sus isomorfismos). Una curva es estable si es completa, conexa, no tiene singularidades distintas de puntos dobles y tiene solo un grupo finito de automorfismos. La pila resultante se denota . Ambas pilas de módulos contienen familias universales de curvas. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$

Las dos pilas anteriores tienen dimensión ; por lo tanto, se puede especificar completamente una curva nodal estable eligiendo los valores de los parámetros, cuando . En géneros inferiores, se debe tener en cuenta la presencia de familias suaves de automorfismos, restando su número. Hay exactamente una curva compleja de género cero, la esfera de Riemann, y su grupo de isomorfismos es PGL(2). Por lo tanto, la dimensión de es igual a ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim({\text{space of genus 0 curves}})-\dim({\text{group of automorphisms}})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2))\\&=-3.\end{aligned}}}$

De la misma manera, en el género 1, hay un espacio unidimensional de curvas, pero cada una de esas curvas tiene un grupo unidimensional de automorfismos. Por lo tanto, la pila tiene dimensión 0. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

Construcción e irreducibilidad

Es un teorema no trivial, demostrado por Pierre Deligne y David Mumford ^[1] , que la pila de módulos es irreducible, lo que significa que no se puede expresar como la unión de dos subpilas propias. Demuestran esto analizando el lugar geométrico de las curvas estables en el esquema de Hilbert de curvas incrustadas tricanónicamente (a partir de la incrustación de la muy amplia para cada curva) que tienen polinomio de Hilbert . Entonces, la pila es una construcción del espacio de módulos . Usando la teoría de la deformación , Deligne y Mumford muestran que esta pila es suave y usan la pila de isomorfismos entre curvas estables , para mostrar que tiene estabilizadores finitos, por lo tanto es una pila Deligne–Mumford . Además, encuentran una estratificación de como ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$ ${\displaystyle [H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle \mathrm {Isom} _{S}(C,C')}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle H_{g}}$

${\displaystyle H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}}$,

donde es el subesquema de curvas estables suaves y es un componente irreducible de . Analizan los componentes de (como un cociente GIT ). Si existieran múltiples componentes de , ninguno de ellos estaría completo. Además, cualquier componente de debe contener curvas no singulares. En consecuencia, el lugar geométrico singular es conexo, por lo tanto, está contenido en un solo componente de . Además, debido a que cada componente interseca a , todos los componentes deben estar contenidos en un solo componente, por lo tanto, el espacio burdo es irreducible. A partir de la teoría general de pilas algebraicas, esto implica que el cociente de pilas es irreducible. ${\displaystyle H_{g}^{o}}$ ${\displaystyle H_{g,i}}$ ${\displaystyle S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)}$ ${\displaystyle H_{g}^{o}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle S^{*}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle S^{*}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

Adecuación

La propiedad , o compacidad para orbifolds , se deduce de un teorema sobre reducción estable en curvas. ^[1] Esto se puede encontrar usando un teorema de Grothendieck sobre la reducción estable de variedades abelianas , y mostrando su equivalencia con la reducción estable de curvas. ^{[1] sección 5.2}

Espacios de módulos gruesos

También se pueden considerar los espacios de módulos gruesos que representan clases de isomorfismo de curvas suaves o estables. Estos espacios de módulos gruesos se estudiaron antes de que se introdujera el concepto de pila de módulos. De hecho, la idea de una pila de módulos fue introducida por Deligne y Mumford en un intento de demostrar la proyectividad de los espacios de módulos gruesos. En los últimos años, se ha hecho evidente que la pila de curvas es en realidad el objeto más fundamental.

Los espacios de módulos gruesos tienen la misma dimensión que las pilas cuando ; sin embargo, en el género cero, el espacio de módulos gruesos tiene dimensión cero, y en el género uno, tiene dimensión uno. ${\displaystyle g>1}$

Ejemplos de espacios de módulos de género bajos

Género 0

La determinación de la geometría del espacio de módulos de las curvas de género se puede establecer utilizando la teoría de la deformación . El número de módulos para una curva de género, por ejemplo , viene dado por el grupo de cohomología ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}$

Con la dualidad de Serre, este grupo de cohomología es isomorfo a

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}}$

para el haz dualizante . Pero, utilizando Riemann–Roch se muestra que el grado del fibrado canónico es , por lo que el grado de es , por lo tanto no hay secciones globales, lo que significa ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}$ ${\displaystyle -4}$

${\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

mostrando que no hay deformaciones de las curvas de género. Esto prueba que es solo un único punto, y las únicas curvas de género están dadas por . La única dificultad técnica es el grupo de automorfismos de es el grupo algebraico , que se rigidiza una vez que se fijan tres puntos ^[2] en , por lo que la mayoría de los autores toman como . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,3}}$

Género 1

El caso del género 1 es uno de los primeros casos bien comprendidos de espacios de módulos, al menos sobre los números complejos, porque las clases de isomorfismo de las curvas elípticas se clasifican por el invariante J.

${\displaystyle j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$

donde . Topológicamente, es simplemente la línea afín, pero se puede compactar en una pila con un espacio topológico subyacente agregando una curva estable en el infinito. Esta es una curva elíptica con una sola cúspide. La construcción del caso general sobre fue completada originalmente por Deligne y Rapoport . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

Nótese que la mayoría de los autores consideran el caso de curvas de género uno con un punto marcado como el origen del grupo ya que de lo contrario el grupo estabilizador en un espacio de módulos hipotético tendría grupo estabilizador en el punto dado por la curva, ya que las curvas elípticas tienen una estructura de grupo abeliano. Esto agrega complejidad técnica innecesaria a este espacio de módulos hipotético. Por otro lado, es una pila Deligne–Mumford suave . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ ${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

Género 2

Espacio de parámetros afines

En el género 2 es un resultado clásico que todas esas curvas son hiperelípticas , ^{[4] pág. 298} por lo que el espacio de módulos se puede determinar completamente a partir del lugar geométrico de las ramas de la curva utilizando la fórmula de Riemann-Hurwitz . Dado que una curva arbitraria de género 2 está dada por un polinomio de la forma

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)}$

Para algunas definidas de forma única , el espacio de parámetros para dichas curvas está dado por ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),}$

donde corresponde al lugar geométrico . ^[5] ${\displaystyle \Delta _{i,j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Espacio proyectivo ponderado

Utilizando un espacio proyectivo ponderado y la fórmula de Riemann-Hurwitz , una curva hiperelíptica puede describirse como un polinomio de la forma ^[6]

${\displaystyle z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},}$

donde son los parámetros de las secciones de . Entonces, el lugar geométrico de las secciones que no contienen raíz triple contiene cada curva representada por un punto . ${\displaystyle a,\ldots ,f}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{2}}$

Género 3

Este es el primer espacio de módulos de curvas que tiene tanto un lugar geométrico hiperelíptico como un lugar geométrico no hiperelíptico. ^{[7] [8]} Las curvas no hiperelípticas están todas dadas por curvas planas de grado 4 (usando la fórmula de grado de género ), que están parametrizadas por el lugar geométrico suave en el esquema de Hilbert de hipersuperficies.

${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}}$.

Luego, el espacio de módulos se estratifica por las subpilas.

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }}$.

Geometría birracional

Conjetura de uniracionalidad

En todos los casos anteriores, se puede encontrar que los espacios de módulos son uniracionales , lo que significa que existe un morfismo racional dominante.

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}}$

y se esperaba desde hace tiempo que esto sería cierto en todos los géneros. De hecho, Severi había demostrado que esto era cierto para géneros hasta . ^[9] Aunque, resulta que para el género ^{[10] [11] [12]} todos esos espacios de módulos son de tipo general, lo que significa que no son uniracionales. Lo lograron estudiando la dimensión Kodaira de los espacios de módulos gruesos ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle g\geq 23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),}$

y se encontró para . De hecho, para , ${\displaystyle \kappa _{g}>0}$ ${\displaystyle g\geq 23}$ ${\displaystyle g>23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),}$

y por lo tanto es de tipo general. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

Implicación geométrica

Esto es significativo geométricamente porque implica que cualquier sistema lineal en una variedad reglada no puede contener la curva universal . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}}$

Estratificación de límites

El espacio de módulos tiene una estratificación natural en el límite cuyos puntos representan curvas de género singulares. ^[14] Se descompone en estratos ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}}$,

dónde

• ${\displaystyle \Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}}$para . ${\displaystyle 1\leq h<g/2}$
• ${\displaystyle \Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)}$donde la acción permuta los dos puntos marcados.
• ${\displaystyle \Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)}$cuando sea par ${\displaystyle g}$

Las curvas que se encuentran por encima de estos lugares corresponden a

• Un par de curvas conectadas en un punto doble. ${\displaystyle C,C'}$
• La normalización de una curva de género en una única singularidad de doble punto. ${\displaystyle g}$
• Un par de curvas del mismo género conectadas en un punto doble hasta permutación.

Estratificación para el género 2

Para el caso del género, existe una estratificación dada por ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$.

Un análisis más detallado de estos estratos se puede utilizar para obtener los generadores del anillo de Chow ^{[14] proposición 9.1} . ${\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})}$

Módulos de curvas marcadas

También se puede enriquecer el problema considerando la pila de módulos de curvas nodales de género g con n puntos marcados, distintos por pares y distintos de los nodos. Se dice que dichas curvas marcadas son estables si el subgrupo de automorfismos de curva que fijan los puntos marcados es finito. Las pilas de módulos resultantes de curvas de género g suaves (o estables) con n puntos marcados se denotan (o ), y tienen dimensión . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle 3g-3+n}$

Un caso de particular interés es la pila de módulos de curvas de género 1 con un punto marcado. Esta es la pila de curvas elípticas . Las formas modulares de nivel 1 son secciones de fibrados lineales en esta pila, y las formas modulares de nivel N son secciones de fibrados lineales en la pila de curvas elípticas con estructura de nivel N (aproximadamente una marcación de los puntos de orden N ). ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$

Geometría de límites

Una propiedad importante de los espacios de módulos compactificados es que su frontera puede describirse en términos de espacios de módulos para géneros . Dada una curva nodal marcada y estable, se puede asociar su grafo dual , un grafo con vértices etiquetados por enteros no negativos y al que se le permite tener bucles, aristas múltiples y también medias aristas numeradas. Aquí los vértices del grafo corresponden a componentes irreducibles de la curva nodal, el etiquetado de un vértice es el género aritmético del componente correspondiente, las aristas corresponden a nodos de la curva y las medias aristas corresponden a las marcas. El cierre del lugar geométrico de las curvas con un grafo dual dado en es isomorfo al cociente de pila de un producto de espacios de módulos compactificados de curvas por un grupo finito. En el producto, el factor correspondiente a un vértice v tiene género g _v tomado del etiquetado y número de marcas igual al número de aristas salientes y medias aristas en v . El género total g es la suma de g _v más el número de ciclos cerrados en el gráfico. ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}}$ ${\displaystyle g'<g}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}$ ${\displaystyle n_{v}}$

Las curvas estables cuyo gráfico dual contiene un vértice etiquetado como (por lo tanto, todos los demás vértices tienen y el gráfico es un árbol) se denominan "cola racional" y su espacio de módulos se denota como . Las curvas estables cuyo gráfico dual es un árbol se denominan "tipo compacto" (porque el jacobiano es compacto) y su espacio de módulos se denota como . ^[2] ${\displaystyle g_{v}=g}$ ${\displaystyle g_{v}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }}$

Véase también

• Conjetura de Witten
• Anillo tautológico
• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch

Referencias

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3. Deligne, P.; Rapoport, M. (1973), Les schémas de module de courbes elliptiques , Lecture Notes in Mathematics, vol. 349, Springer Berlin Heidelberg, págs. 143–316, doi :10.1007/bfb0066716, ISBN 978-3-540-06558-6, URL: http://publications.ias.edu/node/367
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13. Farkas, Gavril (2009). "La geometría global del espacio de módulos de curvas". Geometría algebraica . Actas de simposios sobre matemáticas puras. Vol. 80. págs. 125–147. doi :10.1090/pspum/080.1/2483934. ISBN . 9780821847022. Número de identificación del sujeto  8281102.
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Referencias clásicas

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Libros sobre módulos de curvas

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• Arbarello, Enrico; Cornalba, Mauricio; Griffiths, Phillip A. (2011). Geometría de Curvas Algebraicas II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 268.doi : 10.1007 /978-3-540-69392-5. ISBN 978-3-540-42688-2.

Teoría de la cohomología y la intersección

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Enlaces externos

• "Topología y geometría del espacio de módulos de curvas". The American Institute of Mathematics .
• "Módulos de mapas estables, invariantes de Gromov-Witten y cohomología cuántica"