Subgrupo anormal

En matemáticas , en el campo de la teoría de grupos , un subgrupo de un grupo se denomina malnormal si para cualquier en pero no en , y se intersecan solo en el elemento identidad . ^[1] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle xHx^{-1}}$

Algunos datos sobre la malnormalidad:

• Una intersección de subgrupos anormales es anormal. ^[2]
• La malnormalidad es transitiva , es decir, un subgrupo malnormal de un subgrupo malnormal es malnormal. ^[3]
• El subgrupo trivial y el grupo entero son subgrupos anormales. Un subgrupo normal que también sea anormal debe ser uno de estos. ^[4]
• Cada subgrupo mal normal es un tipo especial de grupo C llamado subgrupo de intersección trivial o subgrupo TI.

Cuando G es finito, un subgrupo anormal H distinto de 1 y G se denomina "complemento de Frobenius". ^[4] El conjunto N de elementos de G que son iguales a 1 o no conjugados con ningún elemento de H es un subgrupo normal de G , llamado "núcleo de Frobenius", y G es el producto semidirecto de H y N (teorema de Frobenius). ^[5]

Referencias

1. Lyndon, Roger C .; Schupp, Paul E. (2001), Teoría combinatoria de grupos, Springer, pág. 203, ISBN 9783540411581.
2. Gildenhuys, D.; Kharlampovich, O.; Myasnikov, A. (1995), "Grupos CSA y construcciones libres separadas", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana , 52 (1): 63–84, arXiv : math/9605203 , doi :10.1017/S0004972700014453, MR  1344261.
3. Karrass, A.; Solitar, D. (1971), "El producto libre de dos grupos con un subgrupo amalgamado anormal", Revista canadiense de matemáticas , 23 : 933–959, doi : 10.4153/cjm-1971-102-8 , MR  0314992.
4. de la Harpe, Pierre; Weber, Claude (2011), Subgrupos malnormales y grupos de Frobenius: conceptos básicos y ejemplos , arXiv : 1104.3065 , Bibcode :2011arXiv1104.3065D.
5. Feit, Walter (1967), Caracteres de los grupos finitos , WA Benjamin, Inc., Nueva York-Ámsterdam, págs. 133-139, MR  0219636.