Módulo volumétrico

Resistencia de un material a una presión uniforme

Ilustración de compresión uniforme

El módulo volumétrico ( o módulo de compresión) de una sustancia es una medida de la resistencia de una sustancia a la compresión volumétrica . Se define como la relación entre el aumento infinitesimal de la presión y la disminución relativa resultante del volumen . ^[1] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

Otros módulos describen la respuesta del material ( deformación ) a otros tipos de tensión : el módulo de corte describe la respuesta a la tensión de corte , y el módulo de Young describe la respuesta a la tensión normal (estiramiento longitudinal). Para un fluido , solo el módulo volumétrico es significativo. Para un sólido anisotrópico complejo como la madera o el papel , estos tres módulos no contienen suficiente información para describir su comportamiento, y se debe utilizar la ley de Hooke generalizada completa. El recíproco del módulo volumétrico a temperatura fija se llama compresibilidad isotérmica .

Definición

El módulo volumétrico (que normalmente es positivo) se puede definir formalmente mediante la ecuación ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=-V{\frac {dP}{dV}},}$

donde es la presión, es el volumen inicial de la sustancia y denota la derivada de la presión con respecto al volumen. Como el volumen es inversamente proporcional a la densidad, se deduce que ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle dP/dV}$

${\displaystyle K=\rho {\frac {dP}{d\rho }},}$

donde es la densidad inicial y denota la derivada de la presión con respecto a la densidad. La inversa del módulo volumétrico da la compresibilidad de una sustancia . Generalmente, el módulo volumétrico se define a temperatura constante como el módulo volumétrico isotérmico, pero también se puede definir a entropía constante como el módulo volumétrico adiabático . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle dP/d\rho }$

Relación termodinámica

En sentido estricto, el módulo volumétrico es una magnitud termodinámica y, para especificarlo, es necesario especificar cómo varía la presión durante la compresión: temperatura constante (isotérmica ), entropía constante ( isoentrópica ) y otras variaciones son posibles. Tales distinciones son especialmente relevantes para los gases . ${\displaystyle K_{T}}$ ${\displaystyle K_{S}}$

Para un gas ideal , un proceso isentrópico tiene:

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },}$

donde es la relación de capacidad térmica . Por lo tanto, el módulo volumétrico isentrópico viene dado por ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle K_{S}}$

${\displaystyle K_{S}=\gamma P.}$

De manera similar, un proceso isotérmico de un gas ideal tiene:

${\displaystyle PV={\text{constant}}\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}$

Por lo tanto, el módulo volumétrico isotérmico viene dado por ${\displaystyle K_{T}}$

${\displaystyle K_{T}=P}$.

Cuando el gas no es ideal, estas ecuaciones dan sólo una aproximación del módulo volumétrico. En un fluido, el módulo volumétrico y la densidad determinan la velocidad del sonido ( ondas de presión ), según la fórmula de Newton-Laplace. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}$

En los sólidos, y tienen valores muy similares. Los sólidos también pueden soportar ondas transversales : para estos materiales se necesita un módulo elástico adicional , por ejemplo el módulo de corte, para determinar las velocidades de las ondas. ${\displaystyle K_{S}}$ ${\displaystyle K_{T}}$

Medición

Es posible medir el módulo volumétrico mediante difracción de polvos bajo presión aplicada. Es una propiedad de un fluido que muestra su capacidad de cambiar su volumen bajo presión.

Valores seleccionados

Influencias de la adición de componentes de vidrio seleccionados en el módulo volumétrico de un vidrio base específico. ^[6]

Un material con un módulo volumétrico de 35 GPa pierde el uno por ciento de su volumen cuando se somete a una presión externa de 0,35 GPa (~3500 bar ) (se supone un módulo volumétrico constante o débilmente dependiente de la presión).

Origen microscópico

Potencial interatómico y elasticidad lineal

Potencial y fuerza interatómicos

Como la elasticidad lineal es un resultado directo de la interacción interatómica, está relacionada con la extensión/compresión de los enlaces. Luego, se puede derivar del potencial interatómico para materiales cristalinos. ^[9] Primero, examinemos la energía potencial de dos átomos que interactúan. Partiendo de puntos muy lejanos, sentirán una atracción mutua. A medida que se acerquen, su energía potencial disminuirá. Por otro lado, cuando dos átomos están muy cerca uno del otro, su energía total será muy alta debido a la interacción repulsiva. Juntos, estos potenciales garantizan una distancia interatómica que alcanza un estado de energía mínima. Esto ocurre a cierta distancia a ₀ , donde la fuerza total es cero:

${\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}$

Donde U es el potencial interatómico y r es la distancia interatómica. Esto significa que los átomos están en equilibrio.

Para extender el enfoque de los dos átomos al sólido, considere un modelo simple, digamos, una matriz unidimensional de un elemento con una distancia interatómica de a, y la distancia de equilibrio es a _0. Su relación de energía potencial-distancia interatómica tiene una forma similar a la del caso de los dos átomos, que alcanza un mínimo en a _0. La expansión de Taylor para esto es:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)}$

En el equilibrio, la primera derivada es cero, por lo que el término dominante es el cuadrático. Cuando el desplazamiento es pequeño, se deben omitir los términos de orden superior. La expresión queda así:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}}$

${\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})}$

Lo cual es claramente una elasticidad lineal.

Nótese que la derivación se realiza considerando dos átomos vecinos, por lo que el coeficiente de Hook es:

${\displaystyle K=a_{0}{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}}$

Esta forma se puede extender fácilmente al caso 3-D, con volumen por átomo (Ω) en lugar de la distancia interatómica.

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}$

Véase también

• Tensor de elasticidad
• Deformación volumétrica

Referencias

1. "Propiedades elásticas en masa". hiperfísica . Universidad Estatal de Georgia.
2. Página 52 de " Introducción a la física del estado sólido , octava edición" de Charles Kittel, 2005, ISBN 0-471-41526-X 
3. Gallas, Marcia R.; Piermarini, Gasper J. (1994). "Módulo volumétrico y módulo de Young de la γ-alúmina nanocristalina". Revista de la Sociedad Cerámica Americana . 77 (11): 2917–2920. doi :10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x. ISSN  1551-2916.
4. "Página de propiedades del grafito de John A. Jaszczak". pages.mtu.edu . Consultado el 16 de julio de 2021 .
5. "Caucho de silicona". Materiales AZO .
6. Fluegel, Alexander. "Cálculo del módulo volumétrico de vidrios". glassproperties.com .
7. Liu, AY; Cohen, ML (1989). "Predicción de nuevos sólidos de baja compresibilidad". Science. 245 (4920): 841–842.
8. Beau, MR (2018). "Sobre la naturaleza del espacio-tiempo, la inflación cosmológica y la expansión del universo". Preimpresión. DOI:10.13140/RG.2.2.16796.95364
9. H., Courtney, Thomas (2013). Comportamiento mecánico de los materiales (2.ª ed. Reimp ed.). Nueva Delhi: McGraw Hill Education (India). ISBN 978-1259027512.OCLC 929663641  .{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

Lectura adicional

• De Jong, Maarten; Chen, Wei (2015). "Gráfico de las propiedades elásticas completas de compuestos cristalinos inorgánicos". Scientific Data . 2 : 150009. Bibcode :2013NatSD...2E0009D. doi :10.1038/sdata.2015.9. PMC  4432655 . PMID  25984348.