En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas, el modelo mínimo es el modelo estándar mínimo de ZFC . El modelo mínimo fue introducido por Shepherdson (1951, 1952, 1953) y redescubierto por Cohen (1963).
La existencia de un modelo mínimo no puede probarse en ZFC , incluso suponiendo que ZFC es consistente , pero se sigue de la existencia de un modelo estándar como sigue. Si hay un conjunto W en el universo de von Neumann V que es un modelo estándar de ZF, y el ordinal κ es el conjunto de ordinales que ocurren en W , entonces L κ es la clase de conjuntos construibles de W. Si hay un conjunto que es un modelo estándar de ZF, entonces el conjunto más pequeño de tales es tal L κ . Este conjunto se llama modelo mínimo de ZFC, y también satisface el axioma de constructibilidad V=L. El teorema descendente de Löwenheim-Skolem implica que el modelo mínimo (si existe como un conjunto) es un conjunto contable . Más precisamente, cada elemento s del modelo mínimo puede ser nombrado; en otras palabras, hay una oración de primer orden φ ( x ) tal que s es el único elemento del modelo mínimo para el cual φ ( s ) es verdadero.
Cohen (1963) dio otra construcción del modelo mínimo como los conjuntos fuertemente construibles, utilizando una forma modificada del universo construible de Gödel.
Por supuesto, cualquier teoría consistente debe tener un modelo, por lo que incluso dentro del modelo mínimo de la teoría de conjuntos hay conjuntos que son modelos de ZFC (suponiendo que ZFC sea consistente). Sin embargo, estos modelos de conjuntos no son estándar. En particular, no utilizan la relación de pertenencia normal y no están bien fundamentados.
Si no existe un modelo estándar, el modelo mínimo no puede existir como conjunto. Sin embargo, en este caso, la clase de todos los conjuntos construibles desempeña el mismo papel que el modelo mínimo y tiene propiedades similares (aunque ahora es una clase propia en lugar de un conjunto contable).
El modelo mínimo de la teoría de conjuntos no tiene modelos internos distintos de él mismo. En particular, no es posible utilizar el método de modelos internos para demostrar que cualquier afirmación dada que sea verdadera en el modelo mínimo (como la hipótesis del continuo ) no sea demostrable en ZFC.