Métrica de Hutchinson

Un conjunto de Julia , un fractal relacionado con el conjunto de Mandelbrot

Un fractal que modela la superficie de una montaña (animación)

En matemáticas , la métrica de Hutchinson, también conocida como métrica de Kantorovich, es una función que mide "la discrepancia entre dos imágenes para su uso en el procesamiento de imágenes fractales " y "también se puede aplicar para describir la similitud entre secuencias de ADN expresadas como señales genómicas reales o complejas ". ^{[1] [2]}

Definición formal

Considérense únicamente espacios métricos no vacíos , compactos y finitos . Para tal espacio , denotemos el espacio de medidas de probabilidad de Borel en , con ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \delta :X\rightarrow P(X)}$

la incrustación asociada al punto medida . El soporte de una medida en es el subconjunto cerrado más pequeño de la medida 1. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle P(X)}$

Si Borel es medible entonces el mapa inducido ${\displaystyle f:X_{1}\rightarrow X_{2}}$

${\displaystyle f_{*}:P(X_{1})\rightarrow P(X_{2})}$

se asocia a la medida definida por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )}$

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu (f^{-1}(B))}$

para todos los Borel en . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Entonces la métrica de Hutchinson viene dada por

${\displaystyle d(\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\lbrace \int u(x)\,\mu _{1}(dx)-\int u(x)\,\mu _{2}(dx)\right\rbrace }$

donde se toma sobre todas las funciones de valor real con constante de Lipschitz ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \leq \!1.}$

Entonces es una incrustación isométrica de en , y si es Lipschitz entonces es Lipschitz con la misma constante de Lipschitz. ^[3] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle f:X_{1}\rightarrow X_{2}}$ ${\displaystyle f_{*}:P(X_{1})\rightarrow P(X_{2})}$

Véase también

• Métrica de Wasserstein
• Métrica acústica
• Apófisis (software)
• Métrica completa
• Compresión de imágenes fractales
• Diferenciación de imágenes
• Tensor métrico
• Sistema multifractal

Fuentes y notas

1. Drakopoulos, V.; Nikolaou, NP (diciembre de 2004). "Cálculo eficiente de la métrica de Hutchinson entre imágenes digitalizadas". IEEE Transactions on Image Processing . 13 (12): 1581–1588. doi :10.1109/tip.2004.837550. PMID  15575153.
2. Métrica de Hutchinson en el análisis fractal del ADN: un enfoque de redes neuronales Archivado el 18 de agosto de 2011 en Wayback Machine .
3. "Medidas invariantes para sistemas dinámicos con valores de conjunto" Walter Miller; Ethan Akin Transactions of the American Mathematical Society , vol. 351, núm. 3. (marzo de 1999), págs. 1203-1225]