Método numérico

Herramienta matemática para resolver ecuaciones algorítmicamente

En el análisis numérico , un método numérico es una herramienta matemática diseñada para resolver problemas numéricos. La implementación de un método numérico con una comprobación de convergencia adecuada en un lenguaje de programación se denomina algoritmo numérico.

Definición matemática

Sea un problema bien planteado , es decir, es una relación funcional real o compleja , definida sobre el producto vectorial de un conjunto de datos de entrada y un conjunto de datos de salida , tal que existe una función local de Lipschitz llamada resolvente, que tiene la propiedad de que para cada raíz de , . Definimos un método numérico para la aproximación de , la sucesión de problemas ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ${\displaystyle F:X\times Y\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y=g(x)}$ ${\displaystyle F(x,y)=0}$

${\displaystyle \left\{M_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }=\left\{F_{n}(x_{n},y_{n})=0\right\}_{n\in \mathbb {N} },}$

con , y para cada . Los problemas que componen el método no necesitan estar bien planteados. Si lo están, se dice que el método es estable o está bien planteado . ^[1] ${\displaystyle F_{n}:X_{n}\times Y_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}\in Y_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Consistencia

Las condiciones necesarias para que un método numérico se aproxime de manera efectiva son que y que se comporte como cuando . Por lo tanto, un método numérico se llama consistente si y solo si la secuencia de funciones converge puntualmente a en el conjunto de sus soluciones: ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \lim F_{n}(x,y+t)=F(x,y,t)=0,\quad \quad \forall (x,y,t)\in S.}$

Cuando se dice que el método es estrictamente consistente . ^[1] ${\displaystyle F_{n}=F,\forall n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$

Convergencia

Denotemos por una secuencia de perturbaciones admisibles de para algún método numérico (es decir ) y con el valor tal que . Una condición que el método tiene que satisfacer para ser una herramienta significativa para resolver el problema es la convergencia : ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x+\ell _{n}\in X_{n}\forall n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}(x+\ell _{n},y_{n}(x+\ell _{n}))=0}$ ${\displaystyle F(x,y)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}(\varepsilon )>0,\exists \delta _{\varepsilon ,n_{0}}{\text{ such that}}\\&\forall n>n_{0},\forall \ell _{n}:\|\ell _{n}\|<\delta _{\varepsilon ,n_{0}}\Rightarrow \|y_{n}(x+\ell _{n})-y\|\leq \varepsilon .\end{aligned}}}$

Se puede demostrar fácilmente que la convergencia puntual de a implica la convergencia de la función del método asociado. ^[1] ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle y}$

Véase también

• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias
• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales

Referencias

1. Quarteroni, Sacco, Saleri (2000). Matemática numérica (PDF) . Milán: Springer. p. 33. Archivado desde el original (PDF) el 2017-11-14 . Consultado el 2016-09-27 .{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )