Métodos lineales generales

Los métodos lineales generales ( MLG ) son una gran clase de métodos numéricos utilizados para obtener soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales ordinarias . Incluyen métodos de Runge-Kutta de múltiples etapas que utilizan puntos de colocación intermedios , así como métodos lineales de múltiples pasos que guardan un historial de tiempo finito de la solución. John C. Butcher acuñó originalmente este término para estos métodos y ha escrito una serie de artículos de revisión, ^{[1] [2] [3]} un capítulo de libro, ^[4] y un libro de texto ^[5] sobre el tema. Su colaborador, Zdzislaw Jackiewicz también tiene un extenso libro de texto ^[6] sobre el tema. La clase original de métodos fue propuesta originalmente por Butcher (1965), Gear (1965) y Gragg y Stetter (1964).

Algunas definiciones

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden aproximan soluciones a problemas de valor inicial de la forma

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

El resultado son aproximaciones para el valor de en tiempos discretos : ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle y_{i}\approx y(t_{i})\quad {\text{where}}\quad t_{i}=t_{0}+ih,}$

donde h es el paso de tiempo (a veces denominado ). ${\displaystyle \Delta t}$

Una descripción del método

Para nuestra descripción seguimos Butcher (2006), pp. 189-190, aunque observamos que este método se puede encontrar en otros lugares.

Los métodos lineales generales utilizan dos números enteros:  – el número de puntos de tiempo en la historia, y  – el número de puntos de colocación. En el caso de , estos métodos se reducen a métodos clásicos de Runge-Kutta , y en el caso de , estos métodos se reducen a métodos lineales de múltiples pasos . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle s=1}$

Los valores de etapa y las derivadas de etapa se calculan a partir de aproximaciones en el paso de tiempo : ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle F_{i},\ i=1,2,\dots s}$ ${\displaystyle y_{i}^{[n-1]},\ i=1,\dots ,r}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle y^{[n-1]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n-1]}\\y_{2}^{[n-1]}\\\vdots \\y_{r}^{[n-1]}\\\end{matrix}}\right],\quad y^{[n]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n]}\\y_{2}^{[n]}\\\vdots \\y_{r}^{[n]}\\\end{matrix}}\right],\quad Y=\left[{\begin{matrix}Y_{1}\\Y_{2}\\\vdots \\Y_{s}\end{matrix}}\right],\quad F=\left[{\begin{matrix}F_{1}\\F_{2}\\\vdots \\F_{s}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}f(Y_{1})\\f(Y_{2})\\\vdots \\f(Y_{s})\end{matrix}}\right].}$

Los valores de la etapa se definen mediante dos matrices y : ${\displaystyle A=[a_{ij}]}$ ${\displaystyle U=[u_{ij}]}$

${\displaystyle Y_{i}=\sum _{j=1}^{s}a_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}u_{ij}y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\dots ,s,}$

y la actualización en el tiempo está definida por dos matrices y : ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle B=[b_{ij}]}$ ${\displaystyle V=[v_{ij}]}$

${\displaystyle y_{i}^{[n]}=\sum _{j=1}^{s}b_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}v_{ij}y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\dots ,r.}$

Dadas las cuatro matrices y , se puede escribir de forma compacta el análogo de una tabla de Butcher como ${\displaystyle A,U,B}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}Y\\y^{[n]}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A\otimes I&U\otimes I\\B\otimes I&V\otimes I\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}hF\\y^{[n-1]}\end{matrix}}\right],}$

donde representa el producto tensorial . ${\displaystyle \otimes }$

Ejemplos

Presentamos un ejemplo descrito en (Butcher, 1996). ^[7] Este método consta de un único paso "predicho" y un paso "corregido", que utiliza información adicional sobre el historial de tiempo, así como un único valor de etapa intermedia.

Un valor de etapa intermedia se define como algo que parece provenir de un método lineal de varios pasos :

${\displaystyle y_{n-1/2}^{*}=y_{n-2}+h\left({\frac {9}{8}}f(y_{n-1})+{\frac {3}{8}}f(y_{n-2})\right).}$

Un "predictor" inicial utiliza el valor de la etapa junto con dos fragmentos del historial de tiempo: ${\displaystyle y_{n}^{*}}$ ${\displaystyle y_{n-1/2}^{*}}$

${\displaystyle y_{n}^{*}={\frac {28}{5}}y_{n-1}-{\frac {23}{5}}y_{n-2}+h\left({\frac {32}{15}}f(y_{n-1/2}^{*})-4f(y_{n-1})-{\frac {26}{15}}f(y_{n-2})\right),}$

y la actualización final la da

${\displaystyle y_{n}={\frac {32}{31}}y_{n-1}-{\frac {1}{31}}y_{n-2}+h\left({\frac {5}{31}}f(y_{n}^{*})+{\frac {64}{93}}f(y_{n-1/2}^{*})+{\frac {4}{31}}f(y_{n-1})-{\frac {1}{93}}f(y_{n-2})\right).}$

La representación de tabla concisa para este método está dada por

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|cccc}0&0&0&0&1&{\frac {9}{8}}&{\frac {3}{8}}\\{\frac {32}{15}}&0&0&{\frac {28}{5}}&-{\frac {23}{5}}&-4&-{\frac {26}{15}}\\{\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\\hline {\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\\end{array}}\right].}$

Véase también

• Métodos de Runge-Kutta
• Métodos lineales de varios pasos
• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias

Notas

1. Butcher, John C. (febrero-marzo de 1996). "Métodos lineales generales". Computers & Mathematics with Applications . 31 (4–5): 105–112. doi : 10.1016/0898-1221(95)00222-7 .
2. Butcher, John (mayo de 2006). "Métodos lineales generales". Acta Numerica . 15 : 157–256. Código Bibliográfico :2006AcNum..15..157B. doi :10.1017/S0962492906220014. S2CID  125962375.
3. Butcher, John (febrero de 2009). "Métodos lineales generales para ecuaciones diferenciales ordinarias". Matemáticas y computadoras en simulación . 79 (6): 1834–1845. doi :10.1016/j.matcom.2007.02.006.
4. Butcher, John (2005). "Métodos lineales generales". Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias . John Wiley & Sons, Ltd., págs. 357-413. doi :10.1002/0470868279.ch5. ISBN 9780470868270. Número de identificación del sujeto  2334002.
5. Butcher, John (1987). El análisis numérico de ecuaciones diferenciales ordinarias: Runge-Kutta y métodos lineales generales. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-91046-6.
6. Jackiewicz, Zdzislaw (2009). Métodos lineales generales para ecuaciones diferenciales ordinarias. Wiley. ISBN 978-0-470-40855-1.
7. Carnicero 1996, pág. 107.

Referencias

• Butcher, John C. (enero de 1965). "Un método multipaso modificado para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias". Revista de la ACM . 12 (1): 124–135. doi : 10.1145/321250.321261 . S2CID  36463504.
• Gear, CW (1965). "Métodos híbridos para problemas de valor inicial en ecuaciones diferenciales ordinarias". Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Serie B: Análisis numérico . 2 (1): 69–86. Bibcode :1965SJNA....2...69G. doi :10.1137/0702006. hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t4rj60q8s . S2CID  122744897.
• Gragg, William B.; Hans J. Stetter (abril de 1964). "Métodos predictores-correctores multipaso generalizados". Revista de la ACM . 11 (2): 188–209. doi : 10.1145/321217.321223 . S2CID  17118462.
• Hairer, Ernst; Wanner, Wanner (1973), "Métodos multipaso-multietapa-multiderivados para ecuaciones diferenciales ordinarias", Computing , 11 (3): 287–303, doi :10.1007/BF02252917, S2CID  25549771.

Enlaces externos

• Métodos lineales generales