Análisis multiresolución

Método de diseño de transformadas wavelet discretas.

Un análisis multiresolución ( MRA ) o aproximación multiescala ( MSA ) es el método de diseño de la mayoría de las transformadas wavelet discretas (DWT) prácticamente relevantes y la justificación del algoritmo de la transformada wavelet rápida (FWT). Fue introducido en este contexto en 1988/89 por Stéphane Mallat e Yves Meyer y tiene predecesores en el análisis microlocal en la teoría de ecuaciones diferenciales (el método de planchado ) y los métodos piramidales de procesamiento de imágenes introducidos en 1981/83 por Peter J. Burt, Edward H. Adelson y James L. Crowley.

Definición

Un análisis multiresolución del espacio de Lebesgue consta de una secuencia de subespacios anidados ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \{0\}\dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$

que satisface ciertas relaciones de autosemejanza en tiempo-espacio y escala-frecuencia, así como relaciones de completitud y regularidad.

• La autosimilitud en el tiempo exige que cada subespacio V _k sea invariante ante cambios de múltiplos enteros de 2 ^k . Es decir, para cada uno la función g definida como también contenida en . ${\displaystyle f\in V_{k},\;m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g(x)=f(x-m2^{k})}$ ${\displaystyle V_{k}}$
• La autosimilitud en la escala exige que todos los subespacios sean versiones escaladas en el tiempo entre sí, con un factor de escala respectivamente de dilatación de 2 ^k-l . Es decir, para cada uno hay un con . ${\displaystyle V_{k}\subset V_{l},\;k>l,}$ ${\displaystyle f\in V_{k}}$ ${\displaystyle g\in V_{l}}$ ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\;g(x)=f(2^{k-l}x)}$
• En la secuencia de subespacios, para k > l la resolución espacial 2 ^l del l -ésimo subespacio es mayor que la resolución 2 ^k del k -ésimo subespacio.
• La regularidad exige que el subespacio modelo V ₀ se genere como el casco lineal ( algebraicamente o incluso topológicamente cerrado ) de los desplazamientos enteros de una o un número finito de funciones generadoras o . Esos cambios de números enteros deberían al menos formar un marco para el subespacio , que impone ciertas condiciones a la desintegración en el infinito . Las funciones generadoras también se conocen como funciones de escala o wavelets padre . En la mayoría de los casos se exige que esas funciones sean continuas por partes con un soporte compacto . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{r}}$ ${\displaystyle V_{0}\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$
• La completitud exige que esos subespacios anidados llenen todo el espacio, es decir, su unión debe ser densa en , y que no sean demasiado redundantes, es decir, su intersección sólo debe contener el elemento cero . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

Conclusiones importantes

En el caso de una función de escala continua (o al menos con variación acotada) soportada de forma compacta con desplazamientos ortogonales, se pueden hacer varias deducciones. La prueba de la existencia de esta clase de funciones se debe a Ingrid Daubechies .

Suponiendo que la función de escala tiene soporte compacto, implica que existe una secuencia finita de coeficientes para , y para , tal que ${\displaystyle V_{0}\subset V_{-1}}$ ${\displaystyle a_{k}=2\langle \phi (x),\phi (2x-k)\rangle }$ ${\displaystyle |k|\leq N}$ ${\displaystyle a_{k}=0}$ ${\displaystyle |k|>N}$

${\displaystyle \phi (x)=\sum _{k=-N}^{N}a_{k}\phi (2x-k).}$

Definir otra función, conocida como wavelet madre o simplemente wavelet

${\displaystyle \psi (x):=\sum _{k=-N}^{N}(-1)^{k}a_{1-k}\phi (2x-k),}$

se puede demostrar que el espacio , que se define como el casco lineal (cerrado) de los desplazamientos enteros de la wavelet madre, es el complemento ortogonal del interior . ^[1] O dicho de otra manera, es la suma ortogonal (denotada por ) de y . Por autosimilitud, hay versiones escaladas y por completitud uno tiene ${\displaystyle W_{0}\subset V_{-1}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{-1}}$ ${\displaystyle V_{-1}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle W_{0}}$

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )={\mbox{closure of }}\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }W_{k},}$

así el conjunto

${\displaystyle \{\psi _{k,n}(x)={\sqrt {2}}^{-k}\psi (2^{-k}x-n):\;k,n\in \mathbb {Z} \}}$

es una base wavelet ortonormal completa contable en . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

Ver también

• Método multired
• Modelado multiescala
• Espacio de escala
• Análisis tiempo-frecuencia
• Ondícula

Referencias

1. Mallat, SG "Un recorrido por Wavelet sobre el procesamiento de señales". www.di.ens.fr. ​Consultado el 30 de diciembre de 2019 .

• Chui, Charles K. (1992). Introducción a las Wavelets . San Diego: Prensa académica. ISBN 0-585-47090-1.
• Akansu, AN ; Haddad, RA (1992). Descomposición de señales multiresolución: transformadas, subbandas y wavelets . Prensa académica. ISBN 978-0-12-047141-6.
• Crowley, JL, (1982). Representaciones de la información visual, Tesis doctoral, Universidad Carnegie-Mellon, 1982.
• Burrus, CS ; Gopinath, RA; Guo, H. (1997). Introducción a las wavelets y las transformadas de wavelet: introducción . Prentice Hall. ISBN 0-13-489600-9.
• Mallat, SG (1999). Un recorrido por las Wavelets sobre el procesamiento de señales. Prensa académica. ISBN 0-12-466606-X.