Método de colocación

Método matemático para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales e integrales

En matemáticas, un método de colocación es un método para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias , ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones integrales . La idea es elegir un espacio de dimensión finita de soluciones candidatas (generalmente polinomios hasta cierto grado) y una cantidad de puntos en el dominio (llamados puntos de colocación ), y seleccionar la solución que satisface la ecuación dada en los puntos de colocación.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Supongamos que la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},}$

se debe resolver en el intervalo . Elija entre 0 ≤ c ₁ < c ₂ < ... < c _n ≤ 1. ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+c_{k}h]}$ ${\displaystyle c_{k}}$

El método de colocación (polinomial) correspondiente aproxima la solución y por el polinomio p de grado n que satisface la condición inicial y la ecuación diferencial en todos los puntos de colocación para . Esto da n  + 1 condiciones, que coinciden con los n  + 1 parámetros necesarios para especificar un polinomio de grado n . ${\displaystyle p(t_{0})=y_{0}}$ ${\displaystyle p'(t_{k})=f(t_{k},p(t_{k}))}$ ${\displaystyle t_{k}=t_{0}+c_{k}h}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$

Todos estos métodos de colocación son, de hecho, métodos Runge-Kutta implícitos . Los coeficientes c _k en la tabla de Butcher de un método Runge-Kutta son los puntos de colocación. Sin embargo, no todos los métodos Runge-Kutta implícitos son métodos de colocación. ^[1]

Ejemplo: La regla del trapezoide

Tome como ejemplo los dos puntos de colocación c ₁ = 0 y c ₂ = 1 (por lo tanto n = 2). Las condiciones de colocación son

${\displaystyle p(t_{0})=y_{0},\,}$

${\displaystyle p'(t_{0})=f(t_{0},p(t_{0})),\,}$

${\displaystyle p'(t_{0}+h)=f(t_{0}+h,p(t_{0}+h)).\,}$

Hay tres condiciones, por lo que p debe ser un polinomio de grado 2. Escribe p en la forma

${\displaystyle p(t)=\alpha (t-t_{0})^{2}+\beta (t-t_{0})+\gamma \,}$

Para simplificar los cálculos, se pueden resolver las condiciones de colocación para obtener los coeficientes.

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{2h}}{\Big (}f(t_{0}+h,p(t_{0}+h))-f(t_{0},p(t_{0})){\Big )},\\\beta &=f(t_{0},p(t_{0})),\\\gamma &=y_{0}.\end{aligned}}}$

El método de colocación ahora viene dado (implícitamente) por

${\displaystyle y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{\frac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{0}+h,y_{1})+f(t_{0},y_{0}){\Big )},\,}$

donde y ₁ = p ( t ₀  +  h ) es la solución aproximada en t = t ₁ = t ₀  +  h .

Este método se conoce como la " regla del trapezoide " para ecuaciones diferenciales. De hecho, este método también se puede derivar reescribiendo la ecuación diferencial como

${\displaystyle y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,y(\tau ))\,{\textrm {d}}\tau ,\,}$

y aproximar la integral en el lado derecho mediante la regla trapezoidal para integrales.

Otros ejemplos

Los métodos de Gauss-Legendre utilizan los puntos de cuadratura de Gauss-Legendre como puntos de colocación. El método de Gauss-Legendre basado en s puntos tiene orden 2 s . ^[2] Todos los métodos de Gauss-Legendre son A-estables . ^[3]

De hecho, se puede demostrar que el orden de un método de colocación corresponde al orden de la regla de cuadratura que se obtendría utilizando los puntos de colocación como pesos.

Método de colocación ortogonal

En el método de colocación directa, básicamente realizamos un cálculo variacional con el subespacio de dimensión finita de funciones lineales por partes (como en la regla trapezoidal), funciones cúbicas u otras funciones polinómicas por partes. En el método de colocación ortogonal, en cambio, utilizamos el subespacio de dimensión finita abarcado por los primeros N vectores en alguna base polinómica ortogonal , como los polinomios de Legendre .

Notas

1. Ascher y Petzold 1998; Iserles 1996, págs. 43–44
2. Iserles 1996, págs. 47
3. Iserles 1996, pág. 63

Referencias

• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998), Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales-algebraicas , Filadelfia: Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-412-8.
• Hairer, Ernst; Norsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: problemas no rígidos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
• Iserles, Arieh (1996), Un primer curso sobre el análisis numérico de ecuaciones diferenciales, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2009), "Un método de colocación espectral racional para resolver una clase de problemas de perturbación singular parametrizados", Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 (10): 2652–2660, doi : 10.1016/j.cam.2009.11.011.