Método Galerkin

Método para resolver problemas de operadores continuos (como ecuaciones diferenciales)

En matemáticas , en el área de análisis numérico , los métodos de Galerkin son una familia de métodos para convertir un problema de operador continuo, como una ecuación diferencial , comúnmente en una formulación débil , en un problema discreto mediante la aplicación de restricciones lineales determinadas por conjuntos finitos de funciones base. Reciben su nombre en honor al matemático soviético Boris Galerkin .

A menudo, cuando se hace referencia a un método de Galerkin, también se da el nombre junto con los supuestos típicos y los métodos de aproximación utilizados:

• El método de Ritz-Galerkin (según Walther Ritz ) generalmente asume una forma bilineal definida positiva y simétrica en la formulación débil , donde la ecuación diferencial para un sistema físico se puede formular mediante la minimización de una función cuadrática que representa la energía del sistema y la solución aproximada es una combinación lineal del conjunto dado de funciones base. ^[1]
• El método de Bubnov-Galerkin (según Ivan Bubnov ) no requiere que la forma bilineal sea simétrica y sustituye la minimización de energía con restricciones de ortogonalidad determinadas por las mismas funciones base que se utilizan para aproximar la solución. En una formulación de operador de la ecuación diferencial , el método de Bubnov-Galerkin puede considerarse como la aplicación de una proyección ortogonal al operador.
• El método de Petrov-Galerkin (en honor a Georgii I. Petrov ^[2] ) permite utilizar funciones base para restricciones de ortogonalidad (denominadas funciones base de prueba ) que son diferentes de las funciones base utilizadas para aproximar la solución. El método de Petrov-Galerkin puede considerarse una extensión del método de Bubnov-Galerkin, que aplica una proyección que no es necesariamente ortogonal en la formulación del operador de la ecuación diferencial .

Ejemplos de métodos de Galerkin son:

• el método Galerkin de residuos ponderados , el método más común para calcular la matriz de rigidez global en el método de elementos finitos , ^{[3] [4]}
• el método de elementos de contorno para resolver ecuaciones integrales,
• Métodos del subespacio de Krylov . ^[5]

Ejemplo: Sistema lineal matricial

En primer lugar, presentamos e ilustramos el método de Galerkin aplicado a un sistema de ecuaciones lineales . Definimos los parámetros de la siguiente manera: ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}}$

que es simétrica y definida positiva, y el lado derecho

${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

La verdadera solución a este sistema lineal es

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Con el método de Galerkin podemos resolver el sistema en un espacio de menor dimensión para obtener una solución aproximada. Usemos la siguiente base para el subespacio:

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Luego, podemos escribir la ecuación de Galerkin donde la matriz del lado izquierdo es ${\displaystyle \left(V^{*}AV\right)\mathbf {y} =V^{*}\mathbf {b} }$

${\displaystyle V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}},}$

y el vector del lado derecho es

${\displaystyle V^{*}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Podemos entonces obtener el vector solución en el subespacio:

${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

que finalmente proyectamos de nuevo al espacio original para determinar la solución aproximada a la ecuación original como

${\displaystyle V\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

En este ejemplo, nuestro espacio de Hilbert original es en realidad el espacio euclidiano tridimensional equipado con el producto escalar estándar , nuestra matriz de 3 por 3 define la forma bilineal y el vector del lado derecho define la función lineal acotada . Las columnas ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}A\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=\mathbf {b} ^{T}\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

de la matriz forman una base ortonormal del subespacio bidimensional de la proyección de Galerkin. Las entradas de la matriz de Galerkin de 2 por 2 son , mientras que los componentes del vector del lado derecho de la ecuación de Galerkin son . Finalmente, la solución aproximada se obtiene a partir de los componentes del vector solución de la ecuación de Galerkin y la base como . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}AV}$ ${\displaystyle a(e_{j},e_{i}),\,i,j=1,2}$ ${\displaystyle V^{*}\mathbf {b} }$ ${\displaystyle f(e_{i}),\,i=1,2}$ ${\displaystyle V\mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{2}y_{j}\mathbf {e} _{j}}$

Ecuación lineal en un espacio de Hilbert

Formulación débil de una ecuación lineal

Introduzcamos el método de Galerkin con un problema abstracto planteado como una formulación débil en un espacio de Hilbert , a saber, ${\displaystyle V}$

Encuentra tal que para todo . ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle v\in V,a(u,v)=f(v)}$

Aquí, es una forma bilineal (los requisitos exactos se especificarán más adelante) y es una funcional lineal acotada en . ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$

Reducción de dimensión de Galerkin

Elija un subespacio de dimensión n y resuelva el problema proyectado: ${\displaystyle V_{n}\subset V}$

Encuentra tal que para todo . ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}$

A esto lo llamamos ecuación de Galerkin . Observe que la ecuación no ha cambiado y solo han cambiado los espacios. Reducir el problema a un subespacio vectorial de dimensión finita nos permite calcular numéricamente como una combinación lineal finita de los vectores base en . ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Ortogonalidad de Galerkin

La propiedad clave del enfoque de Galerkin es que el error es ortogonal a los subespacios elegidos. Como , podemos utilizar como vector de prueba en la ecuación original. Restando los dos, obtenemos la relación de ortogonalidad de Galerkin para el error, que es el error entre la solución del problema original, , y la solución de la ecuación de Galerkin, ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon _{n}=u-u_{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}$

Forma matricial de la ecuación de Galerkin

Dado que el objetivo del método de Galerkin es la producción de un sistema lineal de ecuaciones , construimos su forma matricial, que puede utilizarse para calcular la solución algorítmicamente.

Sea una base para . Entonces, es suficiente usar estos a su vez para probar la ecuación de Galerkin, es decir: encontrar tal que ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

Desarrollamos con respecto a esta base y la insertamos en la ecuación anterior, para obtener ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

${\displaystyle a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

Esta ecuación anterior es en realidad un sistema lineal de ecuaciones , donde ${\displaystyle Au=f}$

${\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

Simetría de la matriz

Debido a la definición de las entradas de la matriz, la matriz de la ecuación de Galerkin es simétrica si y sólo si la forma bilineal es simétrica. ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$

Análisis de los métodos de Galerkin

Aquí nos limitaremos a las formas bilineales simétricas , es decir

${\displaystyle a(u,v)=a(v,u).}$

Si bien esto no es realmente una restricción de los métodos de Galerkin, la aplicación de la teoría estándar se vuelve mucho más sencilla. Además, puede ser necesario un método de Petrov-Galerkin en el caso no simétrico.

El análisis de estos métodos se realiza en dos pasos. En primer lugar, demostraremos que la ecuación de Galerkin es un problema bien planteado en el sentido de Hadamard y, por lo tanto, admite una solución única. En el segundo paso, estudiamos la calidad de aproximación de la solución de Galerkin . ${\displaystyle u_{n}}$

El análisis se basará principalmente en dos propiedades de la forma bilineal , a saber:

• Limitación: para todas las reservas ${\displaystyle u,v\in V}$

  ${\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}$Por alguna constante ${\displaystyle C>0}$

• Elipticidad: para todas las bodegas ${\displaystyle u\in V}$

  ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}}$Por alguna constante ${\displaystyle c>0.}$

Según el teorema de Lax-Milgram (véase la formulación débil ), estas dos condiciones implican que el problema original está bien planteado en la formulación débil. Todas las normas de las secciones siguientes serán normas para las que se cumplen las desigualdades anteriores (estas normas se denominan a menudo normas de energía).

El buen planteamiento de la ecuación de Galerkin

Dado que , la acotación y la elipticidad de la forma bilineal se aplican a . Por lo tanto, el hecho de que el problema de Galerkin esté bien planteado se hereda del hecho de que el problema original esté bien planteado. ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Casi mejor aproximación (lema de Céa)

El error entre la solución original y la de Galerkin admite la estimación ${\displaystyle u-u_{n}}$

${\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}$

Esto significa que, hasta la constante , la solución de Galerkin es tan próxima a la solución original como cualquier otro vector en . En particular, será suficiente estudiar la aproximación por espacios , olvidándose por completo de la ecuación que se está resolviendo. ${\displaystyle C/c}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Prueba

Como la prueba es muy simple y el principio básico detrás de todos los métodos de Galerkin, lo incluimos aquí: por elipticidad y acotación de la forma bilineal (desigualdades) y ortogonalidad de Galerkin (signo igual en el medio), tenemos para arbitrario : ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}$

Dividiendo por y tomando el ínfimo sobre todos los posibles se obtiene el lema. ${\displaystyle c\|u-u_{n}\|}$ ${\displaystyle v_{n}}$

Propiedad de mejor aproximación de Galerkin en la norma de energía

Para simplificar la presentación en la sección anterior, hemos asumido que la forma bilineal es simétrica y definida positiva, lo que implica que es un producto escalar y que la expresión es en realidad una norma vectorial válida, llamada norma de energía . Con estas suposiciones, se puede demostrar fácilmente además la propiedad de mejor aproximación de Galerkin en la norma de energía. ${\displaystyle a(u,v)}$ ${\displaystyle \|u\|_{a}={\sqrt {a(u,u)}}}$

Usando la a-ortogonalidad de Galerkin y la desigualdad de Cauchy-Schwarz para la norma de energía, obtenemos

${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}^{2}=a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq \|u-u_{n}\|_{a}\,\|u-v_{n}\|_{a}.}$

Dividiendo por y tomando el ínfimo sobre todos los posibles se demuestra que la aproximación de Galerkin es la mejor aproximación en la norma de energía dentro del subespacio , es decir, no es nada más que la proyección ortogonal, con respecto al producto escalar , de la solución al subespacio . ${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}}$ ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle a(u,v)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Método de Galerkin para estructuras escalonadas

I. Elishakof , M. Amato, A. Marzani, PA Arvan y JN Reddy ^{[6] [7] [8] [9]} estudiaron la aplicación del método de Galerkin a estructuras escalonadas. Demostraron que la función generalizada, es decir, la función escalón unitario, la función delta de Dirac y la función doblete son necesarias para obtener resultados precisos.

Historia

El enfoque generalmente se atribuye a Boris Galerkin . ^{[10] [11]} El método fue explicado al lector occidental por Hencky ^[12] y Duncan ^{[13] [14]} entre otros. Su convergencia fue estudiada por Mikhlin ^[15] y Leipholz ^{[16] [17] [18] [19]} Su coincidencia con el método de Fourier fue ilustrada por Elishakoff et al. ^{[20] [21] [22]} Su equivalencia con el método de Ritz para problemas conservativos fue mostrada por Singer. ^[23] Gander y Wanner ^[24] mostraron cómo los métodos de Ritz y Galerkin llevaron al método de elementos finitos moderno. Repin discutió cien años de desarrollo del método. ^[25] Elishakoff, Kaplunov y Kaplunov ^[26] muestran que el método de Galerkin no fue desarrollado por Ritz, contrariamente a las declaraciones de Timoshenko.

Véase también

• El método Ritz

Referencias

1. A. Ern, JL Guermond, Teoría y práctica de elementos finitos , Springer, 2004, ISBN  0-387-20574-8
2. "Georgii Ivanovich Petrov (en su centésimo cumpleaños)", Fluid Dynamics, mayo de 2012, volumen 47, número 3, págs. 289-291, DOI 10.1134/S0015462812030015
3. S. Brenner, RL Scott, La teoría matemática de los métodos de elementos finitos , 2.ª edición, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1 
4. PG Ciarlet, El método de elementos finitos para problemas elípticos , Holanda Septentrional, 1978, ISBN 0-444-85028-7 
5. Y. Saad , Métodos iterativos para sistemas lineales dispersos , 2.ª edición, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2 
6. Elishakoff, I., Amato, M., Ankitha, AP y Marzani, A. (2021). La implementación rigurosa del método Galerkin para estructuras escalonadas necesita funciones generalizadas. Journal of Sound and Vibration, 490, 115708.
7. Elishakoff, I., Amato, M. y Marzani, A. (2021). El método de Galerkin revisado y corregido en el problema de Jaworsky y Dowell. Mechanical Systems and Signal Processing, 155, 107604.
8. Elishakoff, I., y Amato, M. (2021). Fluctuación de una viga en un flujo supersónico: la versión truncada de la ecuación de Timoshenko-Ehrenfest es suficiente. Revista internacional de mecánica y materiales en diseño, 1-17.
9. Amato, M., Elishakoff, I. y Reddy, JN (2021). Aleteo de un haz multicomponente en un flujo supersónico. AIAA Journal, 59(11), 4342-4353.
10. Galerkin, BG, 1915, Varillas y placas, series que aparecen en diversas cuestiones relativas al equilibrio elástico de varillas y placas, Vestnik Inzhenerov i Tekhnikov, (Boletín de ingenieros y tecnólogos), vol. 19, 897-908 (en ruso), (traducción al inglés: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info.1963).
11. "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)", (Jean-Claude Pont, editor), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0 
12. Hencky H., 1927, Eine wichtige Vereinfachung der Methode von Ritz zur angennäherten Behandlung von Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, vol. 7, 80-81 (en alemán).
13. Duncan, WJ, 1937, Método de Galerkin en mecánica y ecuaciones diferenciales, Informes y memorandos del Comité de investigación aeronáutica, n.º 1798.
14. Duncan, WJ, 1938, Los principios del método Galerkin, Informe y memorandos de investigación aeronáutica, n.º 1894.
15. SG Mikhlin, "Métodos variacionales en física matemática", Pergamon Press, 1964
16. Leipholz HHE, 1976, Uso del método de Galerkin para problemas de vibración, Shock and Vibration Digest, vol. 8, 3-18
17. Leipholz HHE, 1967, Über die Wahl der Ansatzfunktionen bei der Durchführung des Verfahrens von Galerkin, Acta Mech., vol. 3, 295-317 (en alemán).
18. Leipholz HHE, 1967, Über die Befreiung der Anzatzfunktionen des Ritzschen und Galerkinschen Verfahrens von den Randbedingungen, Ing. Arco., vol. 36, 251-261 (en alemán).
19. Leipholz, HHE, 1976, Uso del método de Galerkin para problemas de vibración, The Shock and Vibration Digest Vol. 8, 3-18, 1976.
20. Elishakoff, I., Lee, LHN, 1986, Sobre la equivalencia de los métodos de series de Galerkin y Fourier para una clase de problemas, Journal of Sound and Vibration, vol. 109, 174-177.
21. Elishakoff, I., Zingales, M., 2003, Coincidencia de Bubnov-Galerkin y solución exacta en un problema de mecánica aplicada, Journal of Applied Mechanics, Vol. 70, 777-779.
22. Elishakoff, I., Zingales M., 2004, Convergencia del método Bubnov-Galerkin ejemplificada, AIAA Journal, Vol. 42(9), 1931-1933.
23. Singer J., 1962, Sobre la equivalencia de los métodos Galerkin y Rayleigh-Ritz, Journal of the Royal Aeronautical Society, vol. 66, núm. 621, pág. 592.
24. Gander, MJ, Wanner, G., 2012, De Euler, Ritz y Galerkin a la informática moderna, SIAM Review, Vol. 54(4), 627-666.
25. ] Repin, S., 2017, Cien años del método Galerkin, Métodos computacionales y matemáticas aplicadas, vol. 17(3), 351-357.
26. .Elishakoff, I., Julius Kaplunov, Elizabeth Kaplunov, 2020, “El método de Galerkin no fue desarrollado por Ritz, contrariamente a la afirmación de Timoshenko”, en Dinámica no lineal de sistemas discretos y continuos (A. Abramyan, I. Andrianov y V. Gaiko, eds.), págs. 63-82, Springer, Berlín.

Enlaces externos

• "Método de Galerkin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Método Galerkin de MathWorld