Regla del trapecio (ecuaciones diferenciales)

Método numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

En el análisis numérico y la computación científica , la regla trapezoidal es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias derivadas de la regla trapezoidal para calcular integrales. La regla trapezoidal es un método implícito de segundo orden, que puede considerarse tanto un método de Runge-Kutta como un método lineal de múltiples pasos .

Método

Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial La regla trapezoidal está dada por la fórmula donde es el tamaño del paso. ^[1] $${\displaystyle y'=f(t,y).}$$ $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}){\Big )},}$$ ${\displaystyle h=t_{n+1}-t_{n}}$

Este es un método implícito: el valor aparece en ambos lados de la ecuación y, para calcularlo realmente, tenemos que resolver una ecuación que, por lo general, no será lineal. Un método posible para resolver esta ecuación es el método de Newton . Podemos utilizar el método de Euler para obtener una estimación bastante buena de la solución, que puede utilizarse como la estimación inicial del método de Newton. ^[2] En resumen, utilizar solo la estimación del método de Euler es equivalente a realizar el método de Heun . ${\displaystyle y_{n+1}}$

Motivación

Integrando la ecuación diferencial de a , encontramos que La regla trapezoidal establece que la integral en el lado derecho se puede aproximar como Ahora combine ambas fórmulas y use eso y para obtener la regla trapezoidal para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. ^[3] ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t_{n+1}}$ $${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.}$$ $${\displaystyle \int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t\approx {\tfrac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{n},y(t_{n}))+f(t_{n+1},y(t_{n+1})){\Big )}.}$$ ${\displaystyle y_{n}\approx y(t_{n})}$ ${\displaystyle y_{n+1}\approx y(t_{n+1})}$

Análisis de errores

Del análisis de error de la regla trapezoidal para cuadratura se desprende que el error de truncamiento local de la regla trapezoidal para resolver ecuaciones diferenciales se puede acotar como: Por lo tanto, la regla trapezoidal es un método de segundo orden. ^{[ cita requerida ]} Este resultado se puede utilizar para mostrar que el error global es a medida que el tamaño del paso tiende a cero (ver la notación O grande para el significado de esto). ^[4] ${\displaystyle \tau _{n}}$ $${\displaystyle |\tau _{n}|\leq {\tfrac {1}{12}}h^{3}\max _{t}|y'''(t)|.}$$ ${\displaystyle O(h^{2})}$ ${\displaystyle h}$

Estabilidad

La región rosa es la región de estabilidad para el método trapezoidal.

La región de estabilidad absoluta para la regla trapezoidal es Esto incluye el semiplano izquierdo, por lo que la regla trapezoidal es A-estable. La segunda barrera de Dahlquist establece que la regla trapezoidal es la más precisa entre los métodos lineales de múltiples pasos A-estables. Más precisamente, un método lineal de múltiples pasos que es A-estable tiene como máximo orden dos, y la constante de error de un método lineal de múltiples pasos A-estable de segundo orden no puede ser mejor que la constante de error de la regla trapezoidal. ^[5] $${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)<0\}.}$$

De hecho, la región de estabilidad absoluta para la regla trapezoidal es precisamente el semiplano izquierdo. Esto significa que si se aplica la regla trapezoidal a la ecuación de prueba lineal y' = λ y , la solución numérica decae a cero si y solo si lo hace la solución exacta. Sin embargo, la desintegración de la solución numérica puede ser muchos órdenes de magnitud más lenta que la de la solución verdadera.

Notas

1. Iserles 1996, pág. 8; Süli y Mayers 2003, pág. 324
2. Süli y Mayers 2003, pág. 324
3. Iserles 1996, pág. 8; Süli y Mayers 2003, pág. 324
4. Iserles 1996, pág. 9; Süli y Mayers 2003, pág. 325
5. Süli y Mayers 2003, pág. 324

Referencias

• Iserles, Arieh (1996), Un primer curso sobre el análisis numérico de ecuaciones diferenciales, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0521007941.

Véase también

• Método de Crank-Nicolson