Métodos sin matriz

En matemáticas computacionales , un método sin matriz es un algoritmo para resolver un sistema lineal de ecuaciones o un problema de valores propios que no almacena la matriz de coeficientes explícitamente, sino que accede a la matriz evaluando productos matriz-vector. ^[1] Dichos métodos pueden ser preferibles cuando la matriz es tan grande que almacenarla y manipularla consumiría mucha memoria y tiempo de cómputo, incluso con el uso de métodos para matrices dispersas . Muchos métodos iterativos permiten una implementación sin matriz, incluidos:

• El método de poder ,
• El algoritmo de Lanczos , ^[2]
• Método de gradiente conjugado preacondicionado de bloques localmente óptimos ( LOBPCG ), ^[3]
• Algoritmo de recurrencia de coordenadas de Wiedemann, ^[4] y
• El método del gradiente conjugado . ^[5]
• Métodos del subespacio de Krylov

También se han explorado soluciones distribuidas utilizando sistemas de software paralelos de grano grueso para lograr soluciones homogéneas de sistemas lineales. ^[6]

Se utiliza generalmente para resolver ecuaciones no lineales como las ecuaciones de Euler en dinámica de fluidos computacional . El método de gradiente conjugado sin matriz se ha aplicado en el solucionador de elementos finitos elasto-plásticos no lineales. ^[7] La ​​resolución de estas ecuaciones requiere el cálculo del jacobiano , que es costoso en términos de tiempo de CPU y almacenamiento. Para evitar este gasto, se emplean métodos sin matriz. Para eliminar la necesidad de calcular el jacobiano, se forma en su lugar el producto vectorial jacobiano, que es de hecho un vector en sí mismo. Manipular y calcular este vector es más fácil que trabajar con una matriz grande o un sistema lineal.

Referencias

1. Langville, Amy N.; Meyer, Carl D. (2006), El PageRank de Google y más allá: la ciencia de las clasificaciones de los motores de búsqueda , Princeton University Press , pág. 40, ISBN 978-0-691-12202-1
2. Coppersmith, Don (1993), "Resolución de ecuaciones lineales sobre GF(2): algoritmo de bloque Lanczos", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 192 : 33–60, doi : 10.1016/0024-3795(93)90235-G
3. Knyazev, Andrew V. (2001). "Hacia el solucionador propio preacondicionado óptimo: método de gradiente conjugado preacondicionado en bloque localmente óptimo". Revista SIAM de informática científica . 23 (2): 517–541. CiteSeerX 10.1.1.34.2862 . doi :10.1137/S1064827500366124. 
4. Wiedemann, D. (1986), "Resolución de ecuaciones lineales dispersas sobre campos finitos" (PDF) , IEEE Transactions on Information Theory , 32 : 54–62, doi :10.1109/TIT.1986.1057137
5. Lamacchia, BA; Odlyzko, AM (1991), "Resolución de grandes sistemas lineales dispersos sobre campos finitos", Advances in Cryptology – CRYPT0' 90 , Lecture Notes in Computer Science, vol. 537, pág. 109, doi : 10.1007/3-540-38424-3_8 , ISBN 978-3-540-54508-8
6. Kaltofen, E.; Lobo, A. (1996), "Solución distribuida sin matriz de grandes sistemas lineales dispersos sobre campos finitos", Algorithmica , vol. 24, núm. 3–4, págs. 311–348, CiteSeerX 10.1.1.17.7470 , doi :10.1007/PL00008266, S2CID  13305650 
7. Prabhune, Bhagyashree C.; Krishnan, Suresh (4 de marzo de 2020). "Un solucionador elasto-plástico rápido sin matriz para predecir tensiones residuales en fabricación aditiva". Diseño asistido por computadora . 123 : 102829. doi : 10.1016/j.cad.2020.102829 .