Teorema del momento-área

El teorema de área-momento es una herramienta de ingeniería para derivar la pendiente, rotación y deflexión de vigas y marcos. Este teorema fue desarrollado por Mohr y posteriormente enunciado por Charles Ezra Greene en 1873. Este método es ventajoso cuando resolvemos problemas que involucran vigas, especialmente para aquellas sujetas a una serie de cargas concentradas o que tienen segmentos con diferentes momentos de inercia .

Teorema 1

El cambio de pendiente entre dos puntos cualesquiera de la curva elástica es igual al área del diagrama M/EI (momento) entre estos dos puntos.

${\displaystyle \theta _{A/B}={\int _{A}}^{B}\left({\frac {M}{EI}}\right)dx}$

dónde,

• ${\displaystyle M}$= momento
• ${\displaystyle EI}$= rigidez a la flexión
• ${\displaystyle \theta _{A/B}}$= cambio de pendiente entre los puntos A y B
• ${\displaystyle A,B}$= puntos en la curva elástica ^[1]

Teorema 2

La desviación vertical de un punto A sobre una curva elástica respecto de la tangente que se extiende desde otro punto B es igual al momento del área bajo el diagrama M/EI entre esos dos puntos (A y B). Este momento se calcula respecto del punto A donde se debe determinar la desviación de B a A.

${\displaystyle t_{A/B}={\int _{A}}^{B}{\frac {M}{EI}}x\;dx}$

dónde,

• ${\displaystyle M}$= momento
• ${\displaystyle EI}$= rigidez a la flexión
• ${\displaystyle t_{A/B}}$= desviación de la tangente en el punto A con respecto a la tangente en el punto B
• ${\displaystyle A,B}$= puntos en la curva elástica ^[2]

Regla de convención de signos

La desviación en cualquier punto de la curva elástica es positiva si el punto se encuentra por encima de la tangente, negativa si el punto se encuentra por debajo de la tangente; la medimos desde la tangente izquierda, si θ es en sentido antihorario, el cambio en la pendiente es positivo, negativo si θ es en sentido horario. ^[3]

Procedimiento para el análisis

El siguiente procedimiento proporciona un método que puede utilizarse para determinar el desplazamiento y la pendiente en un punto de la curva elástica de una viga utilizando el teorema del área-momento.

• Determinar las fuerzas de reacción de una estructura y dibujar el diagrama M/EI de la estructura.
• Si sólo hay cargas concentradas en la estructura, el problema será fácil: dibujar un diagrama M/EI que dará como resultado una serie de formas triangulares.
• Si hay cargas mixtas distribuidas y concentradas, el diagrama de momentos (M/EI) dará como resultado curvas parabólicas, cúbicas, etc.
• Luego, suponga y dibuje la forma de deflexión de la estructura mirando el diagrama M/EI.
• Encuentra las rotaciones, cambios de pendientes y deflexiones de la estructura utilizando las matemáticas geométricas.

Referencias

1. Hibbeler, RC (2012). Análisis estructural (8.ª ed.). Boston: Prentice Hall. pág. 316. ISBN 978-0-13-257053-4.
2. Hibbeler, RC (2012). Análisis estructural (8.ª ed.). Boston: Prentice Hall. pág. 317. ISBN 978-0-13-257053-4.
3. Método de momento-área Deflexión de la viga

Enlaces externos

• Método del área-momento. (nd)