El método de cuadrícula (también conocido como método de caja ) de multiplicación es un enfoque introductorio a los cálculos de multiplicación de varios dígitos que involucran números mayores que diez. Debido a que a menudo se enseña en educación matemática en el nivel de la escuela primaria o primaria , este algoritmo a veces se denomina método de la escuela primaria. [1]
En comparación con la multiplicación larga tradicional , el método de la cuadrícula se diferencia en que divide claramente la multiplicación y la suma en dos pasos y en que depende menos del valor posicional.
Aunque es menos eficiente que el método tradicional, la multiplicación de cuadrículas se considera más confiable porque es menos probable que los niños cometan errores. La mayoría de los alumnos aprenderán el método tradicional una vez que se sientan cómodos con el método de la cuadrícula; pero el conocimiento del método de la cuadrícula sigue siendo un recurso útil en caso de confusión. También se argumenta que, dado que cualquiera que hiciera muchas multiplicaciones utilizaría hoy en día una calculadora de bolsillo, la eficiencia en sí misma es menos importante; Asimismo, dado que esto significa que la mayoría de los niños utilizarán el algoritmo de multiplicación con menos frecuencia, es útil que se familiaricen con un método más explícito (y, por tanto, más fácil de recordar).
El uso del método de la cuadrícula ha sido estándar en la educación matemática en las escuelas primarias de Inglaterra y Gales desde la introducción de una Estrategia Nacional de Aritmética con su "hora de aritmética" en la década de 1990. También se puede encontrar incluido en varios planes de estudio en otros lugares. Básicamente, el mismo método de cálculo, pero sin la disposición explícita de la cuadrícula, también se conoce como algoritmo de productos parciales o método de productos parciales .
El método de la cuadrícula se puede introducir pensando en cómo sumar el número de puntos en una matriz regular, por ejemplo, el número de cuadrados de chocolate en una barra de chocolate. A medida que el tamaño del cálculo aumenta, resulta más fácil empezar a contar en decenas; y representar el cálculo como un cuadro que se puede subdividir, en lugar de dibujar una multitud de puntos. [2] [3]
En el nivel más simple, se podría pedir a los alumnos que apliquen el método a un cálculo como 3 × 17. Dividiendo ("particionando") el 17 como (10 + 7), esta multiplicación desconocida se puede resolver como la suma de dos simples multiplicaciones:
entonces 3 × 17 = 30 + 21 = 51.
Esta es la estructura de "cuadrícula" o "cuadros" que le da nombre al método de multiplicación.
Ante una multiplicación ligeramente mayor, como 34 × 13, inicialmente se puede animar a los alumnos a dividirla también en decenas. Entonces, expandiendo 34 como 10 + 10 + 10 + 4 y 13 como 10 + 3, el producto 34 × 13 podría representarse:
Sumando el contenido de cada fila, es evidente que el resultado final del cálculo es (100 + 100 + 100 + 40) + (30 + 30 + 30 + 12) = 340 + 102 = 442.
Una vez que los alumnos se hayan familiarizado con la idea de dividir el producto completo en contribuciones de cajas separadas, es un paso natural agrupar las decenas, de modo que el cálculo 34 × 13 resulte
dando la suma
entonces 34 × 13 = 442.
Esta es la forma más habitual de realizar un cálculo de cuadrícula. En países como el Reino Unido, donde es habitual enseñar el método de la cuadrícula, los alumnos pueden pasar un período considerable de tiempo realizando regularmente cálculos como los anteriores, hasta que el método les resulte totalmente cómodo y familiar.
El método de la cuadrícula se extiende directamente a cálculos que involucran números más grandes.
Por ejemplo, para calcular 345 × 28, el estudiante podría construir la cuadrícula con seis multiplicaciones sencillas.
para encontrar la respuesta 6900 + 2760 = 9660.
Sin embargo, en esta etapa (al menos en la práctica docente actual en el Reino Unido) es posible que se empiece a animar a los alumnos a realizar dichos cálculos utilizando la forma tradicional de multiplicación larga sin tener que elaborar una cuadrícula.
La multiplicación larga tradicional se puede relacionar con una multiplicación de cuadrícula en la que solo uno de los números se divide en decenas y partes de unidades que se multiplican por separado:
El método tradicional es, en definitiva, más rápido y mucho más compacto; pero requiere dos multiplicaciones significativamente más difíciles con las que los alumnos al principio pueden tener dificultades [ cita requerida ] . En comparación con el método de la cuadrícula, la multiplicación larga tradicional también puede ser más abstracta [ cita necesaria ] y menos clara [ cita necesaria ] , por lo que a algunos alumnos les resulta más difícil recordar qué se debe hacer en cada etapa y por qué [ cita necesaria ] . Por lo tanto, se puede animar a los alumnos durante un tiempo a utilizar el método de cuadrícula más sencillo junto con el método tradicional de multiplicación larga, más eficaz, como control y como alternativa.
Si bien normalmente no se enseña como método estándar para multiplicar fracciones , el método de la cuadrícula se puede aplicar fácilmente a casos simples en los que es más fácil encontrar un producto descomponiéndolo.
Por ejemplo, el cálculo 21/2× 11/2se puede representar usando el método de la cuadrícula
para encontrar que el producto resultante es 2 +1/2+ 1 +1/4= 33/4
El método de la cuadrícula también se puede utilizar para ilustrar la multiplicación de un producto de binomios , como ( a + 3)( b + 2), un tema estándar en álgebra elemental (aunque no suele abordarse hasta la escuela secundaria ):
Por lo tanto ( a + 3)( b + 2) = ab + 3 b + 2 a + 6.
Las CPU de 32 bits normalmente carecen de una instrucción para multiplicar dos números enteros de 64 bits. Sin embargo, la mayoría de las CPU admiten una instrucción de "multiplicar con desbordamiento", que toma dos operandos de 32 bits, los multiplica y coloca el resultado de 32 bits en un registro y el desbordamiento en otro, lo que genera un acarreo. Por ejemplo, estas incluyen la umullinstrucción agregada en el conjunto de instrucciones ARMv4t o la pmuludqinstrucción agregada en SSE2 que opera en los 32 bits inferiores de un registro SIMD que contiene dos carriles de 64 bits.
En plataformas que admiten estas instrucciones, se utiliza una versión ligeramente modificada del método grid. Las diferencias son:
0x100000000. Esto generalmente se hace desplazándose 32 hacia la izquierda o colocando el valor en un registro específico que represente los 32 bits superiores.Esta sería la rutina en C:
#incluir <stdint.h> uint64_t multiplicar ( uint64_t ab , uint64_t cd ) { /* Estos cambios y máscaras suelen ser implícitos, ya que los enteros de 64 bits * a menudo se pasan como 2 registros de 32 bits. */ uint32_t b = ab >> 32 , a = ab & 0xFFFFFFFF ; uint32_t d = cd >> 32 , c = cd & 0xFFFFFFFF ; /* multiplicar con desbordamiento */ uint64_t ac = ( uint64_t ) a * ( uint64_t ) c ; uint32_t alto = ac >> 32 ; /* desbordamiento */ uint32_t low = ac & 0xFFFFFFFF ; /* Multiplicación de 32 bits y suma a los bits altos */ high += ( a * d ); /* agregar anuncio */ alto += ( b * c ); /* add bc */ /* multiplica por 0x100000000 (mediante desplazamiento a la izquierda) y suma a los bits bajos con un binario o. */ retorno (( uint64_t ) alto << 32 ) | bajo ; } Esta sería la rutina en el montaje de ARM:
multiplica: @ a = r0 @ b = r1 @ c = r2 @ d = r3 empuja { r4 , lr } @ copia de seguridad r4 y lr a la pila umull r12 , lr , r2 , r0 @ multiplica r2 y r0 , almacena el resultado en r12 y el desbordamiento en lr mla r4 , r2 , r1 , lr @ multiplica r2 y r1 , suma lr y almacena en r4 mla r1 , r3 , r0 , r4 @ multiplica r3 y r0 , suma r4 y almacena en r1 @ The El valor se desplaza implícitamente hacia la izquierda porque los bits @ altos de un entero de 64 bits se devuelven en r1. mov r0 , r12 @ Establece los bits bajos del valor de retorno en r12 ( ac ) pop { r4 , lr } @ restaura r4 y lr de la pila bx lr @ devuelve los bits bajos y altos en r0 y r1 respectivamente Matemáticamente, la capacidad de descomponer una multiplicación de esta manera se conoce como ley distributiva , que puede expresarse en álgebra como la propiedad de que a ( b + c ) = ab + ac . El método de la cuadrícula utiliza la propiedad distributiva dos veces para expandir el producto, una vez para el factor horizontal y otra para el factor vertical.
Históricamente, el cálculo de la cuadrícula (ligeramente modificado) fue la base de un método llamado multiplicación de celosía , que era el método estándar de multiplicación de varios dígitos desarrollado en las matemáticas árabes e hindúes medievales. Fibonacci introdujo en Europa la multiplicación reticular a principios del siglo XIII junto con los propios números arábigos; aunque, al igual que los números, las formas que sugirió para calcular con ellos tardaron inicialmente en popularizarse. Los huesos de Napier fueron una ayuda para el cálculo introducida por el escocés John Napier en 1617 para ayudar en los cálculos mediante el método de celosía.